【】第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理.docx

【】第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理.docx与圆有关的定理
第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理
直线与圆有三种位置关系， 一是直线与圆无交点， 叫相离，二是直线与圆只有一个交点，
叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点， 叫相交， 这条直线就叫做圆的割线。换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 。
如图 1，几何语言：∵ PT 切⊙ O 于点 T ， PBA 是⊙ O 的割线
PT 2 =PA?PB （切割线定理）
如图 2，设 ABP 是⊙ O 的一条割线， PT 是⊙ O 的一条切线，切点为 T ，则 PT2=PA?PB
证明：连接 AT, BT
∵∠ PTB= ∠PAT( 弦切角定理 ) ∠ P=∠P(公共角 )
∴△ PBT ∽△ PTA( 两角对应相等 ,两三角形相似 )
PB： PT=PT： AP
即： PT 2 =PB ?PA
2、推论（割线定理） ：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图 3，几何语言：
PT 是○ O 切线， PBA ， PDC 是⊙ O 的割线 ∴ PD?PC=PA?PB（切割线定理推论）
由上可知 :PT 2 =PA?PB=PC?PD
3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分
过这点向圆引的两条切线所夹的角。
（1）切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度， “切线长”是
切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（ 2）几点说明
对于切线长定理，应明确（ 1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；
（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形； （ 3）经过圆外
一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。
（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立） ；圆的外
切等腰梯形的中位线等于腰长．
基础知识运用：
例 4，正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD 于 E，求 DE ： AE 的值。
解：由切线长定理知： AF ＝AB ＝ 1， EF＝ CE
设 CE 为 x，在 Rt△ ADE 中，由勾股定理
(1+x) 2 =(1-x) 2 +1 2 ,x=
1
4
∴ DE=1-
1
=
3 ，AE=1+
1
=
5
，
4
4
4
4
DE： AE= ： 5 =3:5