第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse与圆有关的定理第三课时:切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系,一是直线与圆无交点,叫相离,二是直线与圆只有一个交点,叫相切,这条直线叫做圆的切线,三是直线和圆有二个交点,叫相交,这条直线就叫做圆的割线。换个更好理解的就是:把圆的任意一条弦向两方无限延长,这条直线就是圆的割线。1、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图1,几何语言:∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线∴PT=PA•PB(切割线定理)如图2,设ABP是⊙O的一条割线,PT是⊙O的一条切线,切点为T,则PT2=PA•PB 证明:连接AT,BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB:PT=PT:AP即:PT=PB•PA2、推论(割线定理): 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3,几何语言: ∵PT是○O切线,PBA,PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB(切割线定理推论)由上可知:PT=PA•PB=PC•PD3、切线长定理:若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。(1)切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。(2)几点说明对于切线长定理,应明确(1)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(2)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。(3)推论:圆的外切四边形对边和相等(圆的外切四边形性质定理,逆定理成立);:,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE的值。解:由切线长定理知:AF=AB=1,EF=CE设CE为x,在Rt△ADE中,由勾股定理(1+x)=(1-x)+1,x=∴DE=1-=,AE=1+=,∴DE:AE=:=3:5针对性练习:1、已知:PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=(),P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,如果PA:PB=1:4,PC=12cm,⊙O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。解:∵PC是⊙O的切线,PAB是⊙O的割线,且PA:PB=1:4∴PB=4PA又∵PC=12cm由切割线定理,得PC=PAPB∴12=PA4PA∴PA=36,∴PA=6(cm)∴PB=4×6=24(cm)∴AB=24-6=18(cm)设圆心O到AB距离为dcm,由勾股定理,得d==(cm)故应填。,针对性练习::⊙O和不在⊙O上的一点P,过P的直线交⊙O于A、B两点,若PA•PB=24,OP=5,则⊙O的半径长为_____________。⊙O的