蒙特卡罗方法在积分计算中的应用.ppt

第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
蒙特卡罗方法求积分
重要抽样
俄国轮盘赌和分裂
半解析方法
系统抽样
分层抽样
第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡罗方法的各种基本技巧,而这些技巧在粒子输运问题中也是适用的。
蒙特卡罗方法求积分
蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下:任何一个积分,都可看作某个随机变量的期望值,因此,可以用这个随机变量的平均值来近似它。
设欲求积分
其中,P=P(x1,x2,…,xs) 表示 s 维空间的点,Vs表示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数 f (P),令
则
即θ是随机变量 g(P) 的数学期望,P的分布密度函数为 f (P) 。 现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本:Pi,i=1,2,…,N, 则
就是θ的近似估计。
重要抽样
偏倚抽样和权重因子
取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P),令
则有
现从 f1(P) 中抽样 N 个点:Pi,i=1,2,…,N, 则
就是θ的又一个无偏估计。
重要抽样和零方差技巧

要使最小,就是使泛函I[f1] 极小。
利用变分原理,可以得到最优的 f1(P) 为
特别地,当 g(P)≥0 时,有
这时
即 g1的方差为零。实际上,这时有
不管那种情况,我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要抽样,称函数| g(P) | 为重要函数。
俄国轮盘赌和分裂
分裂
设整数 n≥1,令
则
于是计算θ的问题,可化为计算 n 个θi 的和来得到,而每个 gi(P) 为原来θ的估计 g(P) 的 1/ n ,这就是分裂技巧。
俄国轮盘赌
令 0 < q<1,
则
于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期望值,
ζ的特性为:
这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ,这就是俄国轮盘赌。
重要区域和不重要区域
我们往往称对积分θ贡献大的积分区域为重要区域,或感兴趣的区域;称对积分θ贡献小的区域为不重要区域,或不感兴趣的区域。
考虑二重积分
令R是V2上 x 的积分区域,表为 R=R1+R2,其中R1是重要区域,R2是不重要区域,两者互不相交。又命Q为V2上相应于 y 的积分区域。则