复合函数及抽象函数的单调性-PPT课件(精).ppt

?复合函数的单调性复合函数的定义:设 y=f(u) 定义域A,u=g(x) 值域为 B,若 A B , 则y关于 x函数的 y=f[g(x)] 叫做函数f与g的复合函数, u叫中间量??复合函数的单调性?复合函数的单调性由两个函数共同决定; 引理 1:已知函数 y=f[g(x)] ,若 u=g(x) 在区间(a,b) 上是增函数,其值域为(c,d), 又函数 y=f(u) 在区间(c,d) 上是增函数,那么,原复合函数 y=f[g(x)] 在区间(a,b) 上是增函数。证明:在区间(a,b) 内任取两个数 x 1,x 2,使 a<x 1<x 2 <b, 因为 u=g(x) 在区间(a,b) 上是增函数,所以 g(x1)<g(x2), 记 u1=g(x1),u2=g(x2), 即 u1<u2 ,且 u1,u2 (c,d). 因为函数 y=f(u) 在区间(c,d) 上是增函数,所以 f(u1)<f(u2), 即 y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)], 故函数 y=f[g(x)] 在区间(a,b) 上是增函数。?复合函数的单调性引理 2:已知函数 y=f[g(x)] ,若 u=g(x) 在区间(a,b) 上是减函数,其值域为(c,d), 又函数 y=f(u) 在区间(c,d) 上是减函数,那么,原复合函数 y=f[g(x)] 在区间(a,b) 上是增函数。证明:在区间(a,b) 内任取两个数 x 1,x 2,使 a<x 1<x 2 <b, 因为 u=g(x) 在区间(a,b) 上是减函数,所以 g(x1)>g(x2), 记 u1=g(x1),u2=g(x2), 即 u1>u2 ,且 u1,u2 (c,d). 因为函数 y=f(u) 在区间(c,d) 上是减函数,所以 f(u1)<f(u2), 即 y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)], 故函数 y=f[g(x)] 在区间(a,b) 上是增函数。?复合函数的单调性则 y=f[g(x)] y=f(u) 若 u=g(x) 规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数。“同增异减”增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数解:由 1-9x 2≥0得: -1/3 ≤x≤ 1/3 当-1/3 ≤x≤0,x 增大时, 1-9x 2增大, f(x) 减小当 0<x ≤ 1/3 ,x增大时, 1-9x 2减小, f(x) 增大∴函数的单调区间是[-1/3 ,0], [0, 1/3] 。的单调区间。:求函数例 2912 1)(1x xf???例例2. 2. 已知已知 f f ( ( x x )= )= - -x x 2 2 + 2 + 2 x x + 8 + 8 , , g g ( ( x x ) = ) = f f ( 2 ( 2 - -x x 2 2 ) ),求,求 g g ( ( x x ) )的单调增区间. 的单调增区间. 【【解题思路解题思路】】 x x∈∈某区间某区间 A At t∈∈某区间某区间 B B ①①在在A A上的增减性上的增减性②②在在B B上的增减性上的增减性 g g ( ( x x ) )在在A A上的上的单调性单调性关键是关键是 A A的端点如何确定? 的端点如何确定? ??【【讲解讲解】】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应应““分层剥离分层剥离””为两个函数为两个函数 t t= =- -x x 2 2 +2 +2 ①① y y = = f f ( ( t t ) = ) = - - t t 2 2 + 2 + 2 t t + 8 + 8 ②②【【解解】】设设 t t = =- -x x 2 2 + 2 + 2 ①① y y = =- - t t 2 2 +2 +2 t t + 8 + 8 ②②函数函数②②的增、减转折点是的增、减转折点是 t t = 1 = 1 ,把,把 t t = 1 = 1 代入代入①①,得,得 x x 1 1= =- -1 1, ,x x 2 2 =1 =1 ,又,又①①的增、减转折点是的增、减转折点是 x x 3 3 = 0 = 0 , , 于是三个关节点把数轴分成四个区间: 于是三个关节点把数轴分成四个区间: ?? 1,???, ,