证明圆切线方法.doc

证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系,就出现了新的一类习题，，证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图，在△ABC中,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F。
求证：EF与⊙O相切。
证明:连结OE，AD。
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC，
⌒
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∴∠3=∠4.
∴BD=DE，∠1=∠2.
又∵OB=OE,OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）。
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900。
∴EF与⊙O相切。
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图,AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证:PA与⊙O相切.
证明一：作直径AE,连结EC。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC。
∵PA=PD,
∴∠2=∠1+∠DAC。
∵∠2=∠B+∠DAB，
∴∠1=∠B。
又∵∠B=∠E，
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900。
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA。
∴PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.
⌒
⌒
∵AD是∠BAC的平分线,
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE，
∴∠E=∠1.
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA。
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA。
∴PA与⊙O相切
说明:此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.
例3 如图，AB=AC,AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切。
证明一:连结OD。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD,
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C。
∴OD∥AC.
D
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD。
∴DM与⊙O相切
证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.