圆切线证明方法.doc

圆切线证明方法
圆切线证明方法
圆切线证明方法
切线证明法
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
切线的性质定理的推论２:经，⊙O与AB边相切于点D．
证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．
∵AB=AC,OB=OC．
∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO
∵⊙O与AB相切于点D，
∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO
∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．
∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．
∴⊙O与AC边相切．
【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC
于E，：EF与⊙O相切.
证明：连结OE，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC，
∴∠3=∠4.
⌒⌒
∴BD=DE，∠1=∠2.
又∵OB=OE，OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
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【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
证明一：作直径AE，连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径，
0
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90.
0
∴∠1+∠EAC=⊥PA.
PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.
AD是∠BAC的平分线，
⌒
BE=CE，
OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
OA=OE，∴∠E=∠1.
PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
0
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
证明一：连结OD.
∵AB=AC，
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∴∠B=∠C.
∵OB=OD，
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC，

D
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∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB