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第六节 极限存在准则 两个重要极限
极限存在准则两个重要极限无穷小的比较
内容提要
1. 两个极限存在准则；
2. 两个重要极限。
教学要求
（夹逼准则和单调有界准则）；
2. 熟练掌握用两个重要极限求极限 。
(1)
(2)
极限存在准则两个重要极限无穷小的比较
一、极限存在准则

注：上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
极限存在准则两个重要极限无穷小的比较
注:
上述两个准则称为夹逼准则.
.
，并且他们的极限是容易求出来的
利用夹逼准则求极限关键是构造出数列
和
极限存在准则两个重要极限无穷小的比较
例1 求
解
由夹逼定理得
又
极限存在准则两个重要极限无穷小的比较

单调增加
单调减少
单调数列
几何解释:
满足条件
如果数列
xn
极限存在准则两个重要极限无穷小的比较
二、两个重要极限
(
x
取弧度单位
)
如图所示
,
作单位圆
则圆心角∠
AOB=
x
，
显然有
AOD
AOB
S
S
S
D
D
<
<
AOB
扇形
即
x
x
x
tan
sin
<
<
分别除以
x
sin

情形,
有
证:
x
<
<
极限存在准则两个重要极限无穷小的比较
再取倒数
,
得
1
sin
cos
<
<
x
x
x
………………
(1)
由于用
x
-
代替
x
时
x
cos
和
x
x
sin
都不变号
不等
式
(1)
仍成立
,
恒
有不等式
1
sin
cos
<
<
x
x
x
成立。
3
．由于
1
cos
lim
0
=
®
x
x
,
且
1
1
lim
0
=
®
x
,
由夹逼准则
可知
,
1
sin
lim
0
=
®
x
x
x
.
证毕
从而当
时
,
2
.对于
的情形
,
所以当
时
,
（偶函数），
极限存在准则两个重要极限无穷小的比较
注意：
解
例 1 求
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例2 求
例3 求
解
解
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