高等数学 对坐标的曲面积分PPT课件.pptx

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观察以下曲面的侧
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧

通常光滑曲面都有两侧.
如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等.
(假设曲面是光滑的)
对坐标的曲面积分
一、预备知识
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有两侧的曲面.
规定
(1)双侧曲面
2. 曲面的分类
法向量的方向来区分曲面的两侧.
对坐标的曲面积分
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(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
B、C 粘在一起形成的环
不通过边界可以
这在双侧曲面上是不能实现的.
决定了侧的曲面称为
它是由一张长方形纸条ABCD,
扭转一下,
将A、D粘在一起，
行带.
小毛虫在莫比乌斯带上,
爬到任何一点去.
有向曲面.
对坐标的曲面积分
Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
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3. 有向曲面在坐标面上的投影
设Σ是有向曲面.
恰好等于 与坐标面xOy的二面角.
假定
的余弦
上各点处的法向量与 z轴的夹角
有相同的符号.
在有向曲面
取一小块
对坐标的曲面积分
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类似地,可定义 在yOz面及zOx面的投影:
希自己写出
在xOy面上的投影
在xOy面上的投影区域的面积附以一定的
实际上就是
正负号.
的二面角.
对坐标的曲面积分
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流向曲面一侧的流量.
流量
实例
( 为平面A的单位法向量)
(斜柱体体积)
(1)
流速场为常向量
有向平面区域 A,
求单位时间流过A的流体的质量
(假定密度为1).
对坐标的曲面积分
二、概念的引入
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(2) 设稳定流动的不可压缩流体
给出,
函数
流体的密度与速度均不随时间而变化
(假定密度为1)
的速度场由
当
不是常量,
曲面
求在单位
时间内流向
指定侧的
流体的质量
是速度场中的一片有向曲面,
对坐标的曲面积分
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分割
则该点流速为 ，
法向量为
对坐标的曲面积分
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常向量,有向平面
求和
取近似
该点处曲面Σ的单位法向量
高
底
对坐标的曲面积分
通过Σ流向指定侧的流量
k
j
i
n
i
i
i
i
r
r
r
r
g
b
a
cos
cos
cos
+
+
=
)
,
cos(
|
|
i
i
i
n
v
v
r
r
r
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取极限
对坐标的曲面积分
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