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定积分的应用论文
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本科毕业论文
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论文题目 定积分的若干应用
指导教师 薛艳昉 职称 讲师
2013年5月16日
目　　　　录
摘 要 1
关键词 1
Abstract 1
Keywords 1
0 前 言 1
1 定积分在数学中的应用 1
曲边梯形面积的求法 1
扇形面积的求法 3
立体图形的体积的求法 3
由截面面积求旋转体的体积 4
求弧长的方法 5
由微分法求旋转曲面的面积 6
利用定积分对数列求和 7
利用定积分进行因式分解、化简代数式 7
利用定积分证明不等式 8
2 定积分在物理中的应用 9
液体静压力 9
引力问题 9
功与平均功率 10
3 定积分在经济中的应用 12
最大利润问题 12
资金的现值、终值与投资问题 12
参考文献 13
13
13
以及轴所围成的平面图形．
　　下面讨论该曲边梯形的面积．我们在初等数学中，圆的面积是用一系列边数无限增加的内接（或外切）正多边形的面积的极限来定义的，现在我们仍用类似的方法来定义曲边梯形的面积．根据这一思想我们可以得到曲边梯形的面积公式为．
　　由此可知，由上下两条连续曲线，以及直线和直线所围的平面图形的面积，它的计算公式为．
　　例1 求抛物线与直线所围成的平面图形的面积．
　　解 设抛物线与直线的交点与．用直线把图形分为左、右两个部分，应用公式分别求得它们的面积为
=，
=．
所以．
　　设曲线由参数方程
=，，
给出，在[上连续，连续可微且（对于连续可微的情形可类似地讨论）．记=，=，，则由曲线及直线和轴所围的图形，其面积计算公式为
．
　　如果由参数方程表示的曲线是封闭的，那么由曲线自身所围的图形的面积为
．
　　例2 求椭圆所围的面积．
　　解 化椭圆方程为参数方程
=，=，．
则可求得椭圆围面积
=||
　　　　　　　　　　　 ==．
显然，当时，这就等于圆面积
扇形面积的求法
设曲线由极坐标方程
=，
给出，其中在[]上连续，．由曲线与两条射线所围成的平面图形，通常也称为是扇形．此扇形的面积的计算公式为
=．
例3 求双纽线=所围成的平面图形的面积．
　　解 因为，所以的取值范围为[-]与[]．由图形的对称性得
=4=．
立体图形的体积的求法
设是三维空间中一立体，它夹在垂直于轴的两平面与之间．为方便起见称为位于上的立体．若在任意一点处作垂直于轴的平面，它截得的截面面积显然是的函数，记为，，并称之为的截面面积函数．
　　设截面面积函数是上的一个连续函数．对作分割
：．
过各个分点作垂直于轴的平面，，它们把切割成个薄片．设在每个小区间上的最大、小值分别为与，那么每一薄片的体积满足
．
于是，的体积满足
．
因为为连续函数，从而在上可积，所以当足够小时，能使
，
其中为任意小的正数．由此知道
（或）
　　　　　　　　　　 ＝，
其中（或），所以有
．
　　例4 求椭球面所围的立体的面积．
　　解 以平面截椭球面，得椭圆
，
所以截面面积函数为=，于是求得椭球的体积为：V= =．
由截面面积求旋转体的体积
　　设是的连续函数，是有平面图形
0
绕x轴一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为
=．
由=可知，旋转体的体积公式为
．
例5 求由圆x绕x轴旋转一周所得环状立体的体积．
　　解 的上、下半圆分别为：
，．
，．
所以圆环体的截面面积函数是
　　　　　，．
由此可得圆环体的体积为
=．
求弧长的方法
　　由弧长的概念可知弧长=．若曲线由直线坐标方程表示，若把它看作参数方程，即为
．
所以当在上连续可微时，此