数列与探索性新题型的解题技巧.docx

数列与探索性新题型的解题技巧.docx第四讲数列与探索性新题型的解题技巧
【命题趋向】
从2007年高考题可见数列题命题有女II下趋势：
等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三 类皆有.
数列中a”与S”之间的互化关系也是高考的一个热点.
函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.
解答题的难度有逐年增大的趋势，还有一些新颖题型，如与导数和极限相结合等.
因此复习中应注意：
1•数列是一种特殊的函数，、前"项和公式等.
运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量如、d （或q）,掌握好设未 知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
，如等比数列求和要注意尸1和狞1两种情况等等.
等价转化是数学复习中常常运用的，”与S”的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来 ，要及时总结归纳.
深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成 良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【考点透视】
理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写 出数列的前几项.
理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础， 查比较全面，等差数列，，突出考查考生的 思维能力，解决问题的能力，，经常把数列知识和指 数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在 一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着 重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法. 应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.
【例题解析】
考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念，正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.
典型例题
例1. （2006年广东卷）在德国不来梅举彳丁的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2, 3, 4,…堆最底层（第一层）分别按图4 所不方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以
f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）= ;门"）=——（答案用n表示）.
思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4,-推测出第n层的球数。
解答过程：显然f（3）= 10-
第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，a =a,+a,+…+ a =迖也，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球
n 1 2 11 2
的低层数之和，即 f(n) = a“a：+…+ a”」(F+2：+…+ n»：f@) = “ ® + 2)
2 2 2 6
例2. (2007年湖南卷理)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0- 下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，・・・，第〃次全行的数都为1
的是第- 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行
•行；第61行中1的个数是.
1
思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。
解：第1次全行的数都为1的是第2-1=1行，第2次全行的数都为1的是第22-1=3行，第3次全行的数都 为1的是第2匚1=7行， ・，第〃次全行的数都为1的是第2—1行；第61行中1的个数是2-1
=32. 应填2"-1, 32
考点2数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。如
“逐差法”若％-且坷=1；我们可把各个差列出来进行求和，