柯西不等式.docx

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当且仅当a b时，等号成立.
基本不等式：
2cd (a2 b2)(c2 d2)
柯西不等式1
☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义
2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ?知识情景：
.定理1如果a,b R,那么a2 b2 2ab.
当 a 0,b 0时，由 a2 b2 2ab
.如果 a,b,c,d R,那么 a2 b2 2ab , c2 d2
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另一方面，有
问题：(a2
?新知建构：
2
.柯西不等式：若a,b,c,d R,则(a
当且仅当 时,

(ac bd)2 a2c2 b2d2 2abcd
b2)(c2 d2) (ac bd)2 ? ? ?
b2)(c2 d2) (ac bd )2.
等号成立.
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此即二维形式的柯西不等式.
证法 10.(综合法)(a2 b2)(c2 d2) a2c2 a2d2 b2c2 b2d2
2 2 2
()2 ()2(ac bd)2
当且仅当 时，等号成立.
证法20.(构造法)
分 析 ：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ac bd)2 (a2 b2)(c2 d2) [2(ac bd)]2 4(a2 b2)(c2 d2) 0
而[2(ac bd)]2 4(a2 b2)(c2 d2)的结构特征
那么，
证：设 f (x) (a2 b2)x2 2(ac bd)x c2 d2, f (x) (ax c)2 (bx d)2 0 恒成立.
. 得证.
0 ur r ur r
ur r
m n
证法3 .(向量法)设向量m (a,b), n (c,d),则|m | , | n |
，且 m n |m| | n| cos m,n ，有 |mn| |m||n|.
. 得证.
.二维柯西不等式的变式：
变式 1 .若 a,b,c,d R,则 匕2 b2 Vc2―d7 | ac bd| 或 Ta2 b2 与'c2 d2 ac bd ；
变式 a,b,c, d R,则 Ja2 b2 4c_d-2 J(a c)2 (b d)2 ；
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变式 Xi,yi,X2,y2 R,则反~y12 JX2~寸 庐~X2)2 (y~斤.
几何意义：
.二维柯西不等式的应用：
例1已知a,b为实数， 证明(a4 b4)(a2 b2) (a3 b3)2
例2 设a,b R*,a b 1,求证1 - 4 a b
例3求函数y 5TxJ10 2x的最大值
例4若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值，并求最小值点
1,
.2 .2 1
4x 9y —.
当且仅当2x 12 3y
x
由2x 3y 1得
y
解：由柯西不等式(4x2 9y2)(12 12) (2x 3y)2
1,即2x 3y时取等号. 1
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4x2 9y2的最小值为1,最小值点为(1,1)
2 4 6
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选修4-5练习
若a,b R,且a2 b2 10,则a b的取值范围是（）
B . 2、百 2 . B C . 、百、k
已知x y 1,那么2x2 3y2的最小值是（）
7
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3.
4,

6 函数y
c 6 c 25
B. — C.—
5 36
2..1x 2xn■的最大值为
设实数x,y满足3x2 2y2
c 36 D.— 25
6,则P 2x y的最大值是
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_ _ 1 2
a b 1,则(a -)2 a
1. A 2 、 B 3. 3

12,, 一一
(b -)2的最小值是 b
4 . V- 5. 25
2
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6、 求函数y 3<x~1 J10 2x的最大值？；
7、已知3x 2y 1,求x2 y2的最小值.
1 1 一
8、右 x,y R , x y 2 ,求证：一 一 2. x y
9、已知 x,y,a,b R ,且 a b x y
10、若>b >,求证:
11、已知点0 x0,y0及直线l : x y C 0
用柯西不等式推导点到直线的距离公式
12、已知 a，’1 b2 bV1 a2 1,求证：a2 b2 1。
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解方程 二「12 x112 2 二
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练习
：如何变形?
构