初中数学竞赛题汇编代数部分1.doc

初中数学竞赛题汇编代数部分1
初中数学竞赛题汇编代数部分1
初中数学竞赛题汇编代数部分1
初中数学竞赛题汇编
（代数部分１）
江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答
例1若ｍ２=ｍ＋1，n2=n＋1,且m≠ｎ，求ｍ5+ｎ5的值.
解:由已知条件可知，m、ｎ是方程x２-ｘ—1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1,mｎ=－1
∴ｍ2+ｎ2=(m+n）2-2ｍn=3或m2+n2＝m＋ｎ＋２=3
又∵m3+n３=(m+n） (m２-mn+n2)=4
∴m５+n5＝(ｍ3＋n3) (m２+n２)—(mn）２(m+n)＝1１
例2已知 　 　　 　 　　 　
解:设 　 　 　 　 ，则
ｕ＋v+w=1……①　 　 　 　 　 　　 　……②
由②得　 　　 　　　 　 即ﻩuv＋ｖw＋ｗu＝０
将①两边平方得
ｕ2+v2＋w2+2（ｕｖ+vw+wｕ）=１　　　 　所以u2+ｖ２＋w2=1 　
即
例３已知ｘ４+ｘ3+x2+x+１＝0，那么１+x＋x2+ｘ3+x４+……x２014= 　 。
解:1+ｘ+x2＋x3＋x4+…x2０14=(1＋x＋ｘ2＋x3＋ｘ4）＋(ｘ5+x６＋ｘ７+ｘ8+x9）＋…＋（x２010+x201１+ｘ２012+x２０１3+x2014）＝(1+x+x２＋x3＋ｘ4）+x5(1+ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋x４)＋…
＋ x2010(1+x+x２＋x3+x4)=0
例４：证明循环小数 　　 　 为有理数。　 　 　
证明:设 ＝x … ①
将①两边同乘以１00,得 　　
… ②
②-①,得 　 9９x=－ 　即x= 　 　　 　 　 　 .
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例５：证明 　是无理数. 　
证明(反证法）:假设　　 　不是无理数,则 　必为有理数，设
= 　　(p、q是互质的自然数) ,两边平方有 p2=2q２　… ①,
所以ｐ一定是偶数，设ｐ=2m(ｍ为自然数），代入①整理得q=2m２,
所以q也是偶数。p、q均为偶数与ｐ、q是互质矛盾，所以　　 不是有理数,即为有理数.
例6： 　　　 　 ； 　 ; 　 　 　　　 　。
解:
　　
　 　 　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　
例7:化简 (1） 　 　 ；　(2)　
　 　 （3） 　 　 　 　 　 ;(４) 　 　 　　 　　 　　 　;
(５) 　 　　 　　 　 　　 　 ;
（６）　 　　 　 　 　 　　 。 　
解：（１)方法1　 　 　　　　 　　　 　　 　 　 　 　 　 　
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