弗赖登塔尔的数学教育思想.doc

弗赖登塔尔的数学教育思想荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。在他担任期间,召开了第一届国际数学教育大会(ICME —1),并创办了《 Educa — tional Studies in Mathematics 》杂志,现任 ICMI 主席(巴黎十一大学校长)加亨(Kahane) 教授曾评价说“对于数学教育,本世纪的上半叶 Felix Klein 做出了不朽的功绩;本世纪的下半叶 Hans Freu denthal 做出了巨大的贡献。”作为一位数学家,弗赖登塔尔 30年代就享有盛誉,从 50年代起就逐渐转向数学教育的研究, 形成了他自己的独到的观点。他的数学教育理论与思想,完全是从数学教育的实际出发,用数学家和数学教师的眼光审视一切,可以说已经摆脱了“教育学”, (或“心理学”)加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式,抽象概括成他独有的系统见解,这也许是他最重要的贡献,也正是我们特别需要借鉴之处。第一节关于现代数学特性的论述数学教育的研究不能离开它的对象——数学的特有规律,进入 20世纪以来,数学发展的突飞猛进,迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数学的特点。为此,弗赖登塔尔从数学发展的历史出发,深入研究了数学的悠久传统,以及现代数学形成的背景,提出了现代数学的转折点,是否应该以现代实数理论的诞生和约当(Jordan) 的置换群的产生作为标志;或者是另一种看法,那是以著名的布尔巴基(Bourbaki) 理论的出现,作为一个新时期的开端。基于这一分析,弗赖登塔尔认为现代数学的特性,可以归结为以下几个方面: 1 .数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数学的变化,就会发现变的主要是它的外表形式,而不是它的内容实质。这是一个自然演变的过程,在数学的各个领域内, 逐斩渗透与发展了各种新知识与新词汇,最终汇成一个新潮流——形式化,这是组织现代数学的重要方法之一,也是现代数学的标志之一。事实上,这个形式化过程还在继续不断地演变着,新的形式在不断地创造着,形式化的进程也许刚开始,它将以更自觉的方式继续活动。微积分的发展是一个例子,当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及无穷小的时候,这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要,对它们进行各种描述,以及各种运算;经过了一段很长的历史,才逐渐形成了极限的概念,才有了—形式的定义,于是微积分才有严密、精确而又完整的外衣,也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系,这是对长期的非形式化运算过程进行形式化改造的结果。再如表示一个函数的符号,为什么应该记作 f,而不宜写作 f(x) 、这个道理很难叙述清楚,尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内,人们很不容易理解它的必要性,可是当你进入泛函分析的领域,要涉及函数的集合以及它们生成的空间,甚至进一步讨论空间之间的映射等等时,这种表达形式的精确化,随着讨论对象的日益抽象,涉及面的日益广泛,而愈来愈显出它的迫切性,这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。形式化要求以语言为工具,按逻辑的规律,有意识地精确地表达严密的数学含义,不容许混淆, 也不容许矛盾。换句话说,数学需要有自己特定的语言,严密、精确、完整而且相容。随着数学抽象程度的提高,语言表达的严密性日益增强,甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语言的发展显然也不是绝对的,需要有个过程,这也就反映了数学有各种不同程度的形式化,在特定环境下,可以为特定的目的,构造不同的形式化语言。根据弗赖登塔尔的分析,我们认为现代社会的数学教育,当然不可能要求一下子飞跃到 20世纪数学发展的最前沿,以形式化的现代数学内容,充塞于各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性,儿童、少年的生理、心理发展规律,也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础,可是最终应该达到的目的是,使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达的形式体系。当然这里有各种不同的要求,因而也要掌握不同层次的形式化,并且运用着不同水平的数学语言。于是如何根据学生的情况,培养他们从现实背景中,概括出各种数学的观念与运算,熟练地使用各种严谨的数学语言,有意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系,这一形式化活动的过程,就必须贯穿在数学教育的始终。 2. 数学概念的建设方法, 从典型的通过外延描述的抽象化, 进而转向实现公理系统的抽象化, 承认隐含形式的定义, 从而在现代科学方法论的道路上, 迈开了决定性的一步。要是把康脱(Canto r)的集合论的创造,作为现代数学的开端,你就会看到建设概念的典范是通过“外延”来描述一个概念,即描述具有概念所反映的特性的对象全体,由此来了解并掌握这个概念;随着现代数学的进展,人们感到通过“外延”的描述,