小学奥数（1年级）-数论之数论例题.doc

三教上人（A+版-Applicable Achives）
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
竞赛中的数论问题
【知识点介绍】
初等数论也叫做整数论，其研究对象是整数，由于其形式简单，所用知识不难理解，因而常常出现在数学竞赛中．数学竞赛中的数论问题主要涉及奇数和偶数，约数与倍数，素数与合数，平方数、整除、同余、不定方程、数论函数[x]和欧拉函数、数的非十进制等．处理竞赛中的数论问题要求熟悉基本知识，灵活地运用一些常用技巧．在本讲中，如没有特别说明，所用的字母均表示整数．
1．整除
设a、b是两个整数，b≠0，则一定有且仅有两个整数q和r，使得a=bq+r(0≤r<|b|)成立，其中q叫做商，r叫做余数．当r=0时，称b整除a(或a能被b整除)，记作b|a．此时a叫b的倍数，b叫a的约数(因数)．
设是正整数，是不小于2的整数，则存在惟一的一组小于的非负整数，且，使得，这就是的进制表示．
设a、b是两个不全为0的整数，若整数d既能整除a又能整除b，则称d是a、b的公约数，a、b的公约数中的最大者称为a、b的最大公约数，记为(a，b)．若(a，b)=1，则称a、b是互素(互质)的．　
设a、b是两个都不为0的整数，若m是a的倍数，同时又是b的倍数，则称m是a、b的公倍数，a、b的公倍数中最小的正数称为a、b的最小公倍数，记为[a，b]．
对任意的正整数a、b有：(a，b) [a，b]=ab．
对非零整数a、b、c、m、n，有以下性质：　
若，则;
若，则;
若，则;
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若，且，则;
若，且，则.
2．同余
设是一个不小于2的正整数，且，则称对模同余，记作．
设是整数，且，则
(1)若，且，则；
(2)若，且，则且；
(3)若，且正整数满足，则．
3．素数与合数
若一个大于1的整数除了1和本身外再无其它的正约数，则称这个数为素数（质数）．
每一个大于1的整数都可分解成素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是惟一的，即． 
正整数的素数分解式为，则的正约数的个数为
，
的所有正约数的和为
每连续个整数中，与互质的整数的个数是.
4．不定方程
若是方程的一个正整数解，则方程的一切整数解可以表示为
方程满足且是偶数的一切正整数解为
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（这里，一奇一偶，且）．
[典型例题]
例1 (2007年广西预赛试题)已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且则方程组的解(x，y，z)= .
解 记方程组中的两个方程为（1），（2），消去x得，即，所以，或．
若，则由(1)得，不合题意．
由和（1）得，即，
于是，令，有，，从而(x，y，z)=(20，60，100)．
例2 （2008年全国高中数学联赛试题） 方程组的有理数解的个数为 （ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解] 若，则解得或
若，则由得． ①
由得． ②
将②代入得． ③
由①得，代入③化简得.
易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或
说明：上述两个例题都是求不定方程组的整数解，这类问题通常是想办法将其转化成不定方程来进行求解。
例3 (2007年安徽省预赛试题)设A=100101102103…499500是一个1203位正整数，由100到500的全体三位数按顺序排列而成，那么A被126
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除的余数是 ( )
（A）78． （B）36． 　 （C）6． （D）0．
分析 ，因此只要求出A被2，7，9除的余数，就可求出A被126除的余数．
解 注意到,,
又所以
综上， ．故选（C）.
例4 (2007年浙江省预赛试题)已知a=重，则a的末两位数字是( )