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高三数学平面向量一轮复习.docx第七章 平面向量
考纲导读
理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.
掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律.
掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件.
了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度 和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握 平移公式.
掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.
向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份"，使它成为中学数学知识的一个交汇点, 成为多项内容的媒介.
主要考查：
平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则.
向量的坐标运算及应用.
、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用.
正弦定理、、求值或判断三角形的 .
第1课时 向量的概念与几何运算
基础过关
向量的有关概念
⑴既有 又有 的量叫向量，
，叫单位向量，
⑵叫平行向量， .
(3) 且 的向量叫相等向量，
向量的加法与减法
⑴求两个向量的和的运算， 法则或
律和 律.
⑵求两个向量差的运算， 重合，连结两向量
的,方向指向•
实数与向量的积
⑴实数入与向量U的积是一个向量，记作a .它的长度与方向规定如下：
| X u |=•
当入＞0时，入；的方向与板的方向；
当入＜0时，入；的方向与板的方向；
当入=0时，X «.
(2)入(诚)=.
(X + (1) a =.
人(Q + 0 ) =.
⑶ 共线定理：向量；与非零向量U共线的充要条件是有且只有一个实数入使得.
(1)平面向量基本定理：如果E、«是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平 面内的任一向量；，有且只有一对实数人1、如，使得.
⑵设W、«是一组基底， a = xiei + yie2f ' = x2ei + y2e2， 则z与z共线的充要条件 是.
典型例题
\ABC中，D为BC的中点， = a , AC = b ,求赤.
解：BE
*, * 1 ► . ► *
AE — AB =^(AB + AC)— AB
，D是AABC边AB上的中点，则向量而等于(
A. — BC + -BA
2
* 1 *
一 BC — —BA
2
BC — -BA
2
BC + -BA
2
解:A
例2・已知向量。=2幺-3°2，片=2°1+3°2，。= 2.-9°2，其中幺、织不共线，求实数人、"，使 c = Xa + /nb .
解：c =Ma =>2e1 —9e2 =(2X+2|1)e1 +( — 3X+3|1)e2 n2A+2p=2,且一3入+3(1=—9=>X
=2,且 pi= —1
变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：
PA+~PB+PC+PD = 4PO
证明 PA + PC =2P0 , PB + PD =2 PO PA + PB + PC + PD =4 PO
，AB、CD是梯形的两底边，且AB = 2CD, M、N分别是DC
和AB的中点，若扇=云，~AD = ~b ,试用；、万表示反■和亦.
解： 连 NC,贝^\NC = AD = b MN = MC+CN =-AB + CN = -a-b ; BC = NC-NB =b--a
4 4 2
变式训练3:如图所示,OADB是以向量OA = a , OB = 5为邻边的平行四边形，又旅=&无,
CN =-CD f试用U、片表示成，ON , MN . 3
解:0M — — a — b j ON = — a — b 9
6 6 3 3
—*, ]— ]—
MN = — a — — b
2 6
。，片是两个不共线向量，若。与片起点相同，t《R, t为何值时，a , tb , y (« +b) 三向量的终点在一条直线上？
解：设 a-tb = A[a--^(a + b)] (4 UR)化简整理得：(：九-1)。+ 0-?九)万=6
.・・％与片不共线,
2 -2-1 = 0
3
t-