(2)点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦-word资料(精).doc

2012 年高中数学竞赛讲座在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是: 通过邻补角关系证明三点共线; 证明两点的连线必过第三点; 证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥ 4) 点共线可转化为三点共线。例1 如图, 设线段 AB 的中点为 C,以 AC和 CB 为对角线作平行四边形 AECD , BFCG 。又作平行四边形 CFHD , CGKE 。求证: H,C, K 三点共线。证连 AK, DG, HB。由题意, AD EC KG, 知四边形 AKGD 是平行四边形, 于是 AK DG。同样可证 AK HB。四边形 AHBK 是平行四边形, 其对角线 AB, KH 互相平分。而 C是 AB 中点,线段 KH过C 点,故 K,C,H 三点共线。 ABC DEF H K G 例2 如图所示,菱形 ABCD 中, ∠A =120 °,O为△ ABC 外接圆,M 为其上一点, 连接 MC交 AB于E, AM交 CB 延长线于 F。求证: D,E,F 三点共线。证如图,连 AC, DF, DE。因为 M在O 上, 则∠ AMC =60 °=∠ ABC =∠ ACB , 有△ AMC ∽△ ACF ,得 CD CF CA CF MA MC ??。又因为∠ AMC = BAC ,所以△ AMC ∽△ EAC ,得 AE AD AE AC MA MC ??。所以 AE AD CD CF ?,又∠ BAD =∠ BCD =120 ° ,知△ CFD ∽△ ADE 。所以∠ ADE =∠ DFB 。因为 AD∥ BC ,所以∠ ADF =∠ DFB =∠ ADE , 于是 F,E,D 三点共线。例3 四边形 ABCD 内接于圆,其边 AB与 DC 的延长线交于点 P,AD 与 BC 的延长线交于点 Q 。由 Q 作该圆的两条切线 QE和 QF,切点分别为 E,F 。求证: P,E,F 三点共线。 O AFD MC B ECE (E') AB D FP M Q G 证如图。连接 PQ ,并在 PQ 上取一点 M ,使得 B,C,M,P 四点共圆,连 CM, PF 。设 PF 与圆的另一交点为 E’, 并作 QG丄 PF ,垂足为 G 。易如 QE 2= QM· QP= QC· QB①∠ PMC =∠ ABC =∠ PDQ 。从而 C,D,Q,M 四点共圆,于是 PM· PQ= PC· PD②由①,②得 PM· PQ+ QM· PQ= PC· PD+ QC· QB, 即 PQ 2= QC· QB+ PC· PD。易知 PD· PC= PE ’· PF ,又 QF 2= QC· QB ,有 PE ’· PF+ QF 2= PD· PC+ QC· AB= PQ 2, 即 PE ’· PF= PQ 2- QF 2 。又 PQ 2- QF 2= PG 2- GF 2 =( PG+ GF)·( PG- GF) = PF·( PG- GF), 从而 PE’= PG- GF= PG- GE’,即 GF= GE’,故 E’与E 重合。所以 P,E,F 三点共线。例4 以圆 O 外一点 P, 引圆的两条切线 PA, PB,A,B 为切点。割线 PCD 交圆 O于C,D 。又由 B作 CD 的平行线交圆 O于E 。若 F 为 CD 中点,求证: A,F,E 三点共线。证如图,连 AF, EF, OA, OB, OP, BF, OF, 延长 FC交 BE于G。易如 OA丄 AP, OB丄 BP, OF丄 CP ,所以 P,A,F,O,B 五点共圆,有∠ AFP =∠ AOP =∠ POB = ∠ PFB 。又因 CD∥ BE ,所以有∠ PFB =∠ FBE ,∠ EFD =∠ FEB , 而 FOG 为 BE 的垂直平分线,故 EF= FB,∠ FEB =∠ EBF , 所以∠ AFP =∠ EFD ,A,F,E 三点共线。 2. 线共点的证明证明线共点可用有关定理( 如三角形的 3 条高线交于一点), 或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点, 也可转化成点共线的问题给予证明。 APB D FCOE G 例5以△ ABC 的两边 AB, AC 向外作正方形 ABDE , ACFG 。△ ABC 的高为 AH 。求证: AH, BF, CD 交于一点。证如图。延长 HA到M, 使 AM= BC 。连 CM, BM。设 CM与 BF 交于点 K。在△ ACM 和△ BCF 中, AC= CF, AM= BC, ∠ MAC +∠ HAC =180 °, ∠ HAC +∠ HCA =90 °, 并且∠ B