反证法证明题(简单).doc

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反证法证明题(简单)
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反证法证明题(简单)
精心整理
反证法证明题
例 A， B， C 为 ABC内角.
求证： A ， B ， C 中至少有一个不小于 60o.
证明：假设 ABC 的三个内角 A ， B ， C 都小于 60o，
即 A 60o， B 60o， C 60o，
所以AB
C 180O ，
与三角形内角和等于 180o 矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立 .
例 a
0
，证明 x 的方程 ax b 有且只有一个根 .
证明：由于 a
0 ，因此方程 ax b 至少有一个根 x
b .
a
假设方程 ax
b 至少存在两个根，
不妨设两根分别为 x1 , x2 且 x1
x2 ，
则 ax1 b, ax2 b ，
所以
所以

ax1 ax2 ，
a( x1 x2 ) 0 .
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因为 x1
x2 ，所以 x1
x2
0 ，
所以 a
0 ，与已知 a
0
矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立 .
例 a3
b3
2, 求证 a b 2.
证明：假设
a b
2
，则有 a
2
b ，
所以 a3
(2
b)3 即 a3
8 12b
6b2
b3 ，
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所以 a3 8 12b 6b2 b3 6(b 1)2 2 .
因为 6(b 1)2 2 2
所以 a3 b3 2 ，与已知 a3 b3 2 矛盾 .
所以假设不成立，所求证结论成立 .
例 an 是公比为的等比数列， Sn 为它的前 n 项和 . 求证： Sn 不是等比数列 .
证明：假设是 Sn 等比数列，则 S22
S1 S3，
即 a12 (1 q)2
a1 a1 (1 q q2 ) .
因为等比数列 a1 0，
所以 (1 q)2 1 q q2 即 q 0 ，与等比数列 q 0 矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立 .
例 2
是无理数 .
证明：假设
2 是有理数，则存在互为质数的整数
m，n 使得 2
m .
n
所以 m2n
即 m2
2n2 ，
所以 m2 为偶数，所以 m 为偶数 .
所以设 m 2k(k N * ) ，
从而有 4k2 2n2 即 n2 2k 2 .
所以 n2 也为偶数，所以 n 为偶数