有两个约束条件的条件极值
目标函数
约束条件
设函数 u=f(x,y,z) 在点 (x, y, z) 处取得满足两个约束条件的极值。 由隐函数知识，两个约束条件的方程可以确定两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x)。将这两个一元函数代入目标函数，那么一元函数u=f(x,y(x),z(x))=u(x) 在点 x=x 处取得极值。 由极值的必要条件，
另一方面，将两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x) 代入两个约束条件方程，得两个恒等式：
以上二式两端对 x 求导，得
由 (1), (2), (3) 式知道，以下三个梯度
在点(x, y, z)处都与向量 垂直。
所以这三个梯度在点 (x, y, z) 处是共面的。 这就是函数 u=f(x,y,z) 在 (x,y,z) 处取得满足两个约束条件的极值的必要条件。
约束条件 和
函数 取得满足
即它们的混合积为零：
的极值的必要条件是：
命题
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