数学建模双层玻璃的功效.doc

数学建模双层玻璃的功效.doc数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
双层玻璃的功效
北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度
为d的玻璃夹着一层厚度为1的空气，如左图所示，据说这样做是为 了保暖，即减少室内向室外的热量流失。
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）
过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图,
玻璃厚度为2d）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少
热量损失给出定量分析结果。
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
一、模型假设
1、 热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性 能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；
r/m
2、 室内温度1；和室外温度T?保持不变，热传导过程已处于稳定 状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数;
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
3、 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
二、符号说明
t——室内温度
T2——室外温度
d ——单层玻璃厚度
1——两层玻璃之间的空气厚度
III
Ta一 一内层玻璃的外侧温度
;=|
III
Tb——外层玻璃的内侧温度
k——热传导系数
Q 热量损失
三、模型建立与求解
由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规 律：
1111
(1)
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为AT ,则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q,与AT成正比，与 d成反比，即
Q = kT
其中k为热传导系数。
1、双层玻璃的热量流失
[Illi
记双层窗内窗玻璃的外侧温度为T&,外层玻璃的内侧温度为入, 玻璃的热传导系数为％,空气的热传导系数为匕，由（1）式单位时 间单位面积的热量传导（热量流失）为：
(2)
T _T T _T T _T
Q = k =匕 = k ―
r d - d " d
由 Q = k1^—-^^Q = ki^--^WTll-Tb=CI；-T2）-2^
d d K
再代入Q二匕匕亘就将（2）中人、Tb消去，变形可得: d
4
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
(3)
Q 書一畀，S = 1A ,h = l d(s + 2) lCj d
2、单层玻璃的热量流失
对于厚度为2d的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为:
(4)
T -T2
2d
3、单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较
比较（3） （4）有:
Q_ 2
Q' - s + 2
4
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
4
数学建模入门一一双层玻璃窗的功效
显然，QvQ'。
为了获得更具体的结果，我们需要人,£的数据，从有关资料可
知，不流通、干燥空气的热传导系数k2 =