函数地单调性证明.doc

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函数的单调性证明
一．解答题〔共40小题〕
1．证明：函数f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上是减函数．
2．求证：函数f〔x〕=4x+在〔0，〕上递减，在[，+∞d
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函数的单调性证明
参考答案与试题解析
一．解答题〔共40小题〕
1．证明：函数f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上是减函数．
【解答】证明：设x1＜x2＜0，如此：
；
∵x1＜x2＜0；
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0；
∴f〔x1〕＞f〔x2〕；
∴f〔x〕在〔﹣∞，0〕上是减函数．
2．求证：函数f〔x〕=4x+在〔0，〕上递减，在[，+∞〕上递增．
【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，
如此f〔x1〕﹣f〔x2〕=〔4x1+〕﹣〔4x2+〕=4〔x1﹣x2〕+=〔x1﹣x2〕〔〕，
又由0＜x1＜x2＜，
如此〔x1﹣x2〕＜0，〔4x1x2﹣9〕＜0，〔x1x2〕＞0，
如此f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，如此函数f〔x〕在〔0，〕上递减，
设≤x3＜x4，
同理可得：f〔x3〕﹣f〔x4〕=〔x3﹣x4〕〔〕，
又由≤x3＜x4，
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如此〔x3﹣x4〕＜0，〔4x3x4﹣9〕＞0，〔x1x2〕＞0，
如此f〔x3〕﹣f〔x4〕＜0，如此函数f〔x〕在[，+∞〕上递增．
3．证明f〔x〕=在定义域为[0，+∞〕内是增函数．
【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞〕，且x1＜x2，如此：
=；
∵x1，x2∈[0，+∞〕，且x1＜x2；
∴；
∴f〔x1〕＜f〔x2〕；
∴f〔x〕在定义域[0，+∞〕上是增函数．
4．应用函数单调性定义证明：函数f〔x〕=x+在区间〔0，2〕上是减函数．
【解答】证明：任取x1，x2∈〔0，2〕，且x1＜x2，
如此f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣〔=
因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，
所以f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，即f〔x1〕＞f〔x2〕，
所以f〔x〕=x+在〔0，2〕上为减函数．
5．证明函数f〔x〕=2x﹣在〔﹣∞，0〕上是增函数．
【解答】解：设x1＜x2＜0，
∴f〔x1〕﹣f〔x2〕
=2x1﹣﹣2x2+
=〔x1﹣x2〕〔2+〕，
∵x1＜x2＜0，
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∴x1﹣x2＜0，2+＞0，
∴f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，
即：f〔x1〕＜f〔x2〕，
∴函数f〔x〕=2x﹣在〔﹣∞，0〕上是增函数．
6．证明：函数f〔x〕=x2+3在[0，+∞〕上的单调性．
【解答】解：任取0≤x1＜x2，
如此f〔x1〕﹣f〔x2〕=
=〔x1+x2〕〔x1﹣x2〕
因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，
故原式f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，
即f〔x1〕＜f〔x2〕，所以原函数在[0，+∞〕是单调递增函数．
7．证明：函数y=在〔﹣1，+∞〕上是单调增函数．
【解答】解：∵函数f〔x〕==1﹣在在区间〔﹣1，+∞〕，
可以设﹣1＜x1＜x2，
可得f〔x1〕﹣f〔x2〕=1﹣﹣1+=
∵﹣1＜x1＜x2＜0，
∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，
∴＜0
∴f〔x1〕＜f〔x2〕，
∴f〔x〕在区间〔﹣∞，0〕上为增函数；
8．求证：f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上递增，在〔0，+∞〕上递增．
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【解答】证明：设x1＜x2，如此f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣﹣〔﹣〕=﹣=，
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
∴假设x1＜x2＜0，如此x1x2＞0，此时f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，即f〔x1〕＜f〔x2〕，此时函数单调递增．
假设0＜x1＜x2，如此x1x2＞0，此时f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，即f〔x1〕＜f〔x2〕，此时函数单调递增．
即f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上递增，在〔0，+∞〕上递增．
9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间〔0，+∞〕上为减函数．
【解答】解：∵函数y=在区间〔0，+∞〕，
可以设0＜x1＜x2，
可得f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣=＞0，
∴f〔x1〕＞f〔x2〕，
∴f〔x〕在区间〔﹣∞，0〕上为减函数；
10．函数f〔x〕=x+．
〔Ⅰ〕用定义证明：f〔x〕在[2，+∞〕上为增函数；
〔Ⅱ〕假设＞0对任意x∈[4，5]恒成立，某某数a的取值X围．
【解答】〔Ⅰ〕证明：任取x1，x2∈[2，+∞〕，且x1＜x2，