第1讲相似矩阵及二次型.ppt

第1讲相似矩阵及二次型
第1页，本讲稿共44页
§1 向量的内积、长度及正交性
第2页，本讲稿共44页
1. 定义：
内积
一、内积的定义及性质
第3页，本讲稿共44页
说明
1 第1讲相似矩阵及二次型
第1页，本讲稿共44页
§1 向量的内积、长度及正交性
第2页，本讲稿共44页
1. 定义：
内积
一、内积的定义及性质
第3页，本讲稿共44页
说明
1 维向量的内积是3维向量内积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
第4页，本讲稿共44页
2. 内积的运算性质
（施瓦兹不等式）
第5页，本讲稿共44页
1. 定义：
令
长度
范数
2. 性质：
二、向量的长度及性质
第6页，本讲稿共44页
3. 单位向量：
4. n维向量间的夹角
第7页，本讲稿共44页
1. 正交的概念
2. 正交向量组的概念
三、正交向量组的概念及求法
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
第8页，本讲稿共44页
证明：
3. 正交向量组的性质
第9页，本讲稿共44页
4. 向量空间的正交基
例
是二维向量空间的一个正交基
第10页，本讲稿共44页
5. 规范正交基
例如
第11页，本讲稿共44页
第12页，本讲稿共44页
同理可知
第13页，本讲稿共44页
（ⅰ） 正交化：
（2） 求规范正交基的方法
步骤：
取 ，
第14页，本讲稿共44页
（ⅱ）单位化：
取
施密特正交化
过程
第15页，本讲稿共44页
例1 用施密特正交化方法，将向量组
正交规范化.
解：
取
先正交化.
第16页，本讲稿共44页
再单位化，
得规范正交向量组如下：
第17页，本讲稿共44页
1. 正交矩阵
（2）定理：
四、正交矩阵与正交变换
（1）定义：
A的列（或行）向量都是单位向量且两两正交．
A 为正交矩阵
注：
正交矩阵A的 n 个列（或行）向量构成向量空
间Rn 的一个规范正交基．
第18页，本讲稿共44页
（3）性质：
正交变换保持向量的长度不变．
若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换．
2. 正交变换
（1）定义：
（2）性质：
第19页，本讲稿共44页
例2 判别下列矩阵是否为正交阵．
解：
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
第20页，本讲稿共44页
所以它是正交矩阵．
由于
解：
第21页，本讲稿共44页
§2 方阵的特征值与特征向量
第22页，本讲稿共44页
注：
一、特征值与特征向量的概念
第23页，本讲稿共44页
2. 特征方程与特征多项式
第24页，本讲稿共44页
3. 特征值的性质
例1
第25页，本讲稿共44页
解
例2
第26页，本讲稿共44页
第27页，本讲稿共44页
例 3
解
第28页，本讲稿共44页
第29页，本讲稿共44页
第30页，本讲稿共44页
例 4 设
求A的特征值与特征向量．
解
第31页，本讲稿共44页
第32页，本讲稿共44页
得基础解系为：
第33页，本讲稿共44页
例 5 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于
　的特征向量，则
证明
再继续施行上述步骤 次，就得
第34页，本讲稿共44页
（3）
第35页，本讲稿共44页
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
小结：
第36页，本讲稿共44页
证明
则
即
类推之，有
二、特征值和特征向量的性质
第37页，本讲稿共44页
把上列各式合写成矩阵形式，得
第38页，本讲稿共44页
注：
10 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
30 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言
的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征
向量不能属于不同的特征值．
20 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍
是属于这个特征值的特征向量．
第39页，本讲稿共44页
第40页，本讲稿共44页
例 6 设A是 阶方阵，其特征多项式为：
解：
AT与A有相同的特征多项式，也有相同的特征值
第41页，本讲稿共44页
1．将一组基规范正交化的方法：
　 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化．
小结：
2． 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
第42页，本讲稿共44页
思考题：
第43页，本讲