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关于实数理论的几点思考

请证明
两者的
等价性
这对实数系
来说,当然
是这样。但
前三条都与
实数系的“序”有关,而柯西列却与“序”无关,所以完备性不叫连续性
实数理论的引入
实数理论的引入是具有其历史必然性的。尽管牛顿、莱布尼兹早在十七世纪时便建立了微积分的演算体系,但这套微积分的概念与演算,是以直观的基础的,概念并不准确,推导公式有明显的逻辑矛盾。直至19世纪,矛盾已积累到非解决不可的程度,于是在这种形势下,实数理论作为极限理论的坚实基础被引入了,并使微积分的演算体系严格化。
(以上内容参考了《数学分析简明教程》)
实数系各种性质的等价表述概论
经过这几个月来的学习,我对实数理论有了一些自己的体会。我认为,对实数系中与实数有关的各种性质(如实数连续性、完备性、实数闭区间的紧致性,连通性等)的描述,无外乎有两种方式:一种是用集合的观点来阐述,如戴德金分划,非空有上界的实数子集有上确界、有限覆盖定理、区间套定理及聚点定理,另一种是用序列的观点来描述,如有理数基本列的等价类,单调上升有上界的序列有极限,紧致性定理以及柯西收敛原理。
1、实数的连续性
对于数系的连续性戴德金是这样定义的:如果一个有大小顺序的稠密的数系S,它的任一个分划都有S中唯一的数存在,它不小于下类中的每一个数,也不大于上类中的每一个数,那么称数系S是连续的。
以上的定义是通过集合(即下类与上类)来表述的,不过我觉得也能按照康托的思路用序列的方式加以定义,即对于一个有大小顺序的稠密数系S,若所有(有理数)基本列的等价类与S中的所有数一一对应,则称S是连续的。
言归正传,实数连续性是极限理论的基础,微积分正是在实数系这样一个连续的数系中才有了大显身手的舞台。
关于实数连续性的等价描述共有三种:
(1) 对于实数系的每一个分划A∣B,存在唯一的实数r,使得对任意a∈A,b∈B,有a≤r≤b
(2) 非空有上界的实数子集必有上确界存在。
(3) 单调上升有上界的实数列必有极限存在。
[我认为其实柯西收敛原理也反映了实数连续性,而且如果我先前补充的定义可行的话,则康托对实数的定义“每一个(有理数)基本列的等价类都代表一个实数”也可视为实数连续性的一种描述,不过它是建立在另一种定义之上的]
下面谈谈我对这三个等价描述的理解:
(1)很直观的描述了实数连续性。
(2)(3)的表述则较为“含蓄”一些,
其实(2)与(3)描述实数连续性的思路是一样的,即表明实数系在数轴上的任何地方都没有空隙,二者所不同的只是(2)从集合的角度来描述,而(3)从序列的角度来表述。
课本中已证明了(1)Û(2),(1)Û(3)及(2)Þ(3),现在证明(3)Þ(2)。
设M为实数子集E的上界,来证明r = supE∈R。若有E最大值,则此最大值即为上确界。若E无最大值,任取x0E,将[x0,M]二等分,若右半区间含有E中的点,则记右半区间为[a1, b1],否则就记左半区间为[a1,b1]。然后将[a1,b1]再二等分,用同样的方法选出[a2,b2],如此无限分下去,我们便得到一个闭区间的集合{[a
n , bn]},同时得到两串序列{an},{bn},其中{an}单调上升有上界(如b1), {bn}单调下降有下界(如a1),且bn – an = (