考研数一真题及解析.docx

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
lim(cos
x_0
1
x) ln(1 x2)
曲面
z=x2+y2与平面2x+4y—zx y )d。
D(t)
t 2
」f(x )dx
设函数f(x)连续且恒大于零,
f(x2y2z2)dv
F(t))2(t22-2
f(x2y2)d二
D(t)
其中C(t)={(x,y,z)x2+y2+z2<t2},D(t)={(x,y)x2+y2<t2}.
(1)讨论F(t)在区间(0,收)内的单调性.
_2
(2)证明当t>0时，F(t)>-G(t).
冗
九、(本题满分10分)
322010
设矩阵A=232,P=101,B=P,A*P,求B+2E的特征值与特征向量，
：223_901_
其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.
十、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,131cx+2ay+3b=0.
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
H■、(本题满分10分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装
，求：
(1)乙箱中次品件数X的数学期望；
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二、(本题满分8分)
设总体X的概率密度为
,x2，…，xn,记
(1)求总体X的分布函数F(x);
(2)求统计量9的分布函数F?(x);
(3)如果用©作为8的估计量，讨论它是否具有无偏性.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题
…1
⑴【答案】
【详解】方法1:求limu(x)v(x)型极限，一般先化为指数形式
然后求limv(x)lnu(x),再回到指数上去.
In cosx
lim
_ x_0,ln(1 x2)
-e
1lncosx
lim(cosx)ln(1x)=limeln(1")
x)0x0
ln cosx lim 2
x 0 ln(1 x )
ln(1 cosx -1)
=lim 2— =hm
x 0 ln(1 x ) x 0
聋二1(等价无穷小替换ln(1+x)[x) x
1 2 —x 二 lim 22 x 50 x
1 …一 …
= -2(等价无穷小替换
1 2
1 - cosxL 一 x )
2
生--1
原式=e2：一.
可解得，xo=1,y0=2,相应地有Zo=x0+y；=5.
所求切平面过点(125),法向量为：出={2,4,—1},故所求的切平面方程为
2(x—1)+4(y—2)—(z—5)=0,即2x+4y—z=5
⑶【答案】1
【详解】将f(x)=x2(-冗MxMn)展开为余弦级数
f(x)=
od
冗
'f (x) cos nxdx .
所以
2
a2=一 ji
cos2xdx = 1 ° x2d
• c 1 2
sin2x =—[x sin2x
-TT J[
0 - sin2x 2xdx]
⑷【答案】
2 3
-1 -2
x=£ancosnx(一冗<x<n),其中annz0
根据定义，从R2的基％
1

1
-b
到基Pi
的过渡矩阵为
，—— 1
P=[ ：1,：2] [：1, ：2] = 0
-1
1 2 3
1= I
2」11 -<
⑸【答案】4
【分析】本题为已知二维随机变量
(X ,Y)的概率密度f (x, y),求满足一定条件的概率
P{g(X,Y) Ez。}.连续型二维随机变量(X,Y)概率的求解方法
此题可转化为二重积分P{g(X ,Y) W z0} = JJ f (x, y)dxdy进行计算.
g(x,y) _Zo 【详解】，有
P{ X Y _ 1} 二 f (x, y)dxdy * x^y< /
\ /、
(6)【答案】(,). 1C /
【分析】可以用两种方法求解:
(1)已知方差仃2 =1 ,对正态总体的数学期胃
-O乙
N(t1),设有n个
【详解】n维向量空间中，从基%,气，…0n到基PiM,…，Pn的过渡矩阵P满足
[43,…，Pn]=[%,。2,…Pn]P,
因此过渡矩阵P为:
P=[%5，…Pn]'[屋%,…，％.
,n
样本，样本均值X=1£Xi,则三口*