点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用答案.doc

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平面几何培训专题----"点共线"，"线共点"问题
1. 点共线的证明
点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的 z.
定理2 (定理1的逆定理):
设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB上的点。假设，则AP，BQ，CR交于一点。
证 如图，设AP与BQ交于M，连CM，交AB于R’。
由定理1有. 而，所以
.
于是R’与R重合，故AP，BQ，CR交于一点。
定理3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理):
一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BC，CA，AB(或它们的延长线)分别交于P，Q，R，则
证 如图，由三角形面积的性质，有
, , .
将以上三式相乘，得.
定理4 (定理3的逆定理):
设P，Q，R分别是△ABC的三边BC，CA，AB或它们延长线上的3点。假设
，
则P，Q，R三点共线。
定理4与定理2的证明方法类似。
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例8 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一
点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。
证 如图，连接BD交AC于H，
过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J。
对△BCD用塞瓦定理，可得①
因为AH是∠BAD的角平分线，
由角平分线定理知。代入①式得
②
因为CI∥AB，CJ∥AD，则，。
代入②式得 .从而CI=CJ。又由于
∠ACI=180°－∠BAC=180°－∠DAC=∠ACJ，
所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC.
例9ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM.
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例10 在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交l于B和A，半圆的圆心在线段BA上，E
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是线段AC和BD的交点，F是l上的点，EF垂直l。求证：EF平分∠CFD。
例11 如图，四边形ABCD接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长线交于F，P为圆上任意一点，PE，PF分别交圆于R，S. 假设对角线AC与BD相交于T.
求证：R，T，S三点共线。
先证两个引理。
引理1:
A1B1C1D1E1F1为圆接六边形，假设A1D1，B1E1，C1F1交于一点，则有.
如图，设A1D1，B1E1，C1F1交于点O，根据圆接多边形的性质易知
OA1B1∽△OE1D1，△OB1C1∽△OF1E1，
△OC1D1∽△OA1F1，从而有
， ， .
将上面三式相乘即得，
引理2：
圆接六边形A1B1C1D1E1F1，假设满足
则其三条对角线A1D1，B1E1，C1F1交于一点。
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该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。
例1