点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用答案.docx

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平面几何培训专题----《点共线》，《线共点》问题
1•点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明
两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n（n》
4）点共线可转化为三点共线。
例1如CQS「bmc
QASamb

以上三式相乘，得聖空空=1.
PCQARB定理2（定理1的逆定理）:
设P,QR分别是△ABC勺BC,CAAB上的点。",
PCQARB则APBQCF交于一点。
证如图，设AP与BQ交于M连CM交AB于R。
“.而bpCQ!，所以PCQAR'BPCQARB
AR'AR
RB一RB•
于是R与R重合，故APBQCR交于一点。
定理3（梅涅劳斯（Menelaus）定理）:
一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BCCAAB或它们的延长线）分别交于P,QR,则
BPCQAR1证如图，由三角形面积的性质，有
证如图，由三角形面积的性质，有
将以上三式相乘，得芝卷鴛"
PCQARB定理4（定理3的逆定理）:
设P,QR分别是△ABC勺三边BCCAAB或它们延长线上的3
点。若BPCQAR
PCQARB
则P,QR三点共线。
定理4与定理2的证明方法类似。
例8如图，在四边形ABC中，对角线AC平分/BAD在CD上取一点E,BE与AC相交于F，延长DF交BC于G求证：/GACZEAC
证如图，连接BD交AC于H,过点C作AB的平行线交AG勺延长线于I,过点C作AD的平行线交
AE的延长线于J。
恥BCD用塞瓦定理，可得GBHD因为AH是ZBAD勺角平分线，
由角平分线定理知聖。代入①式得HDAD
CGABDE1②
GBADEC因为CI//AB
I代入②式得
DEAD。
ECCJCJ//AD则空=2
GBAB
鱼ABAD★从而ci二Cl又由于ABADCJZAC=180°—ZBA(=180°-ZDACZACJ
所以△ACBAACJ故ZIAC=ZJAC即ZGACZEAC例9ABCD^一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点
AF交ED于GEC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L,交BC于M求证：D匸BM
DFCI例10在直线I的一侧画一个半圆T,C,D是T上的两点,
T上过C和D的切线分别交I于B和A,半圆的圆心在线段
BA上,E是线段AC和BD的交点，F是I上的点，EF垂直
求证:
EF平分/CFD例11如图，四边形ABC内接于圆，AB
DC延长线交于E,
ADBC延长线交于F,P为圆上任意一点,
PEPF分别交圆于R,.
求证：RT,S三点共线。
先证两个引理。
F
引理1:
ABCDEFi为圆内接六边形，若AD,BE,GFi交于一点，则有A)BG1D1E-iF-i1
B1G1D1E1F1A1如图，设AD,BE,GFi交于点O,根据圆内接多边形的性质易
Ai
Gi
Ei
Di
知OASsAOED,AOEGs^OFE,
* OGDOAFi,从而有A]B-iB10E1F1F10G1D1D10
D1E1DQ'B1G1BQ'F1A1FQ
",BiGiDiEiF)A|
引理2:
圆内接六边形
AiBGDEiFi,若满足
AiBiGiDiEiFiiB|CiDiEiF-Ai
则其三条对角线AD,BE,GFi交于一点。
该引理与定理2的证明方法类似，留给读者
例ii之证明如图，连接PDASRGBRAPSD由厶ebrsaEPA△FDSAFPA知BRPA_FP
PA一EP'DS一FD.
两式相乘，得BREBFP
.①DSEPFD
又由△ECRbAEPD△FPEhAFAS知CREC
EP，PD
PDFP=FA
式相乘，得CR
ECFP
EPFA
EBFA
AFDC
AS
由①，②得聖仝DSCRECFDBRCDSAEB
RCDSABBAFDCE
对厶EADS用梅涅劳斯定理,
EBAFDCBAFDCE
=1
由③，④得
BRRC
CD斗.
DSAB由引理2知BDRSAC交于一点，所以
T,S三点共线。
A组
1. 由矩形ABC的外接圆上任意一点M向