全等三角形常见辅助线.ppt

全等三角形常见辅助线
连线法
第一关
如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
A
C
B
D
连接AC
构造全等三角形
连线 构造全等
连线 构造全等
如图,AB与CD交于O, C
D
E
F
M
连接DB,DC
垂直平分线上点向两端连线段
∟
如图，三角形ABC中,BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂直AB交AB的延长线于点F，EG垂直AC交AC于点G。求证：(1)BF=CG
(2)断定AB+AC与AF的关系
第四关
截长补短法
在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
D
B
C
E
1
2
在AB上取点E使得AE=AC，连接DE
截长
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
补短
A
1
B
C
D
2
3
4
如下图，AD∥BC，∠1=∠2，
∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D，
交BC于点C。求证：AD+BC=AB
E
F
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
截长补短
证明：
例1
：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°
D
A
B
C
E
在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。
∵ BD是∠ABC的角平分线〔〕
∴∠1=∠2〔角平分线定义〕
在△ABD和△EBD中
∵ AB=EB〔〕
∠1=∠2〔已证〕
BD=BD〔公共边〕
∴△ABD≌△EBD〔〕
1
2
4
3
∵ ∠3+ ∠4＝180°
〔平角定义〕，
∠A＝∠3〔已证〕
∴∠A+ ∠C＝180°
〔等量代换〕
3
2
1
*
∴ ∠A＝∠3〔全等三角形的对应角相等〕
∵ AD=CD〔〕，AD=DE〔已证〕
∴DE=DC〔等量代换〕
∴∠4=∠C〔等边对等角〕
AD=DE〔全等三角形的对应边相等〕
证明:
例1
：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°
D
A
B
C
F
延长BA到F，使BF=BC，连结DF。
∵ BD是∠ABC的角平分线〔〕
∴∠1=∠2〔角平分线定义〕
在△BFD和△BCD中
∵ BF=BC〔〕
∠1=∠2〔已证〕
BD=BD〔公共边〕
∴△BFD≌△BCD〔〕
1
2
4
3
∵ ∠F＝∠C〔已证〕∴∠4=∠C〔等量代换〕
3
2
1
*
∴ ∠F＝∠C〔全等三角形的对应角相等〕
∵ AD=CD〔〕，DF=DC〔已证〕
∴DF=AD〔等量代换〕
∴∠4=∠F〔等边对等角〕
∵ ∠3+ ∠4＝180°
〔平角定义〕
∴∠A+ ∠C＝180°
〔等量代换〕
DF=DC〔全等三角形的对应边相等〕
练习1
如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
A
B
C
D
E
1
2
2
1
证明:
在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。
∵ AD是∠BAC的角平分线〔〕
∴∠1=∠2〔角平分线定义〕
在△AED和△ACD中
∵ AE=AC〔〕
∠1=∠2〔已证〕
AD=AD〔公共边〕
∴△AED≌△ACD〔〕
3
∴∠B=∠4〔等边对等角〕
4
*
∴ ∠C＝∠3〔全等三角形的对应角相等)
又∵ AB=AC+CD=AE+EB〔〕
∴EB=DC=ED〔等量代换〕
∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和〕
∴∠C=2∠B〔等量代换〕
ED=CD〔全等三角形的对应边相等〕
练习1
如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
A
B
C
D
F
1
2
证明:
延长AC到F，使CF=CD，连结DF。
∵ AD是∠BAC的角平分线〔〕
∴∠1=∠2〔角平分线定义〕
∵ AB=AC+CD，CF=CD〔〕
∴ AB=AC+CF=AF〔等量代换〕
∵ ∠ACB= 2∠F〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和〕
∴∠ACB=2∠B〔等量代换〕
3
2
1
*
在△ABD和△AFD中
∵ AB=AF〔已证〕
∠1=∠2〔已证〕
AD=AD〔公共边〕
∴△ABD≌△AFD〔〕
∴ ∠F＝∠B〔全等三角形的对应角相等〕
∵ CF=CD〔〕
∴∠B=∠3〔等