《向量在几何中的应用》习题.docx

《向量在几何中的应用》习题.docx《向量在几何中的应用面向量 a=(l, 2), b=(—2, m),且 a〃b,则 2a+3b= ( )
A. (— 2, —4) B. (—3, —6)
C. (—4, —8) D. (—5, —10)
；
如果b = 2,求SAABC的最大值.
(2015 •惠州模拟)已知向量 0A= ( X cos a, X sin a ) ( A NO), 0B= ( — sin B, cos P ),其中0为坐标原点.
JI -*■ -*■
⑴若S = a ,求向量0A与OB的夹角； o
⑵若|扁|N2|茄|对任意实数a, B恒成立，求实数X的取值范围.
参考答案：
一、选择题
解析 由 a=(l, 2), b=( — 2, m),且 a〃b,得 1 Xm=2X (—2)与 m=—4,从而 b=( 一
—4),那么 2a+3b=(—4, —8).
答案C
解析 a+b=(3+x, 1), b —c=(x, —4),则(a+b) • (b —c) = (3+x)x+l X (—4) =x2 + 3x—4 = 0,解得 x=l 或 x = — A.
答案A
解析因为(a—b)_La,所以(a—b) • a=0, a2 —a • b = 0,
1 ji
1—2X1 Xcos〈a, b) =0, cos〈a, b) =5,得〈a, b〉=—
答案B
解析 由 a| = |b| = |a —2b| =1,得 a2—4a , b + 4b2=l,
4a • b = 4, .I | a+2b 12 = a2 + 4a , b+4b2 = 5 + 4 = 9, |a+2b| =3.
答案B
解析 由a • b| = |a| • |b|可得a=0,或b = 0,或a与b的夹角为0°或180° ,所以 由a«b| = |a| • |b可推得a〃，若a与b中至少有一个为零向量，则a • b| =0,
a • b| =0,可推得 a • b| = |a| • b| ；
若a与b中没有一个为零向量，则由a〃b可得a与b的夹角为0。或180° ,可推得|a • b =la • b|.
综上所述，"|a・b| = |a| • |b|”是“a〃b”的充分必要条件.
答案C
解析 由 2OA + OB + OC = 0,得0B + 0C=-20A = 2A0,即0B + 0C = 20D = 2A0,所以0D = A0, 即。为AD的中点.
答案B
解析 由(DB+DC-2DA) • (AB-AC) =0,
得[(DB-DA) + (DC-DA)] • (AB-AC) =0,
所以(AB+AC) • (AB-AC) =0.
所以 |AB|2- |AC|2 = 0, /. |AB| = |AC| ,
故AABC是等腰三角形.
答案B
5 n
解析如图，已知ZA0C=— 0
根据三角函数的定义可设
・.・0C=—20A+ 入 0B,
答案B

由 4aBC+2bCA+3cAB=0,得
C[—乎r, |r）其中 r>0.
4aBC+3cAB= —2bCA= — 2b (BA-BC) =2bAB+
2bBC,所以 4a=3c = 2b.
由余弦定理得
cos B =
a2 + c2—b2
2ac
b2 4b2
b2
2b
1 -4*
1 - 2
-
-
1 - 2
-
-
b
・ a
向量a, b的夹角为120° .如图所示，设OA = a,
OB=b, OC = c,则CA=a—c, CB=b —c,则ZA0B=120° , ZACB = 60° , .\ZA0B+ZACB=180o ,
.•.A, 0, B, C四点共圆，不妨设为圆M.
―A ―A
VAB=b —a, .*.AB2=a2—2a • b + b2 = 3,
—►
|AB|=J3,由正弦定理，可得ZXAOB的外接圆即圆M的直径2R=.簇 =2, 当辰
y sinZAOB
为圆M的直径时，|c|取得最大值2.
答案A
二、填空题
解析 当a与b共线时，向量ma+nb始终具有固定的方向，则lXx = 2X3,所以x =
6.
答案6
解析 以0为坐标原点，0A所在直线为x轴，与0A垂直的直线为y轴建立平面直角坐 A(l, 0), b( —1,柬),oc=|oa+^ob=|j,乎)设反，五的夹角为 e , e E[0,
,nI 0A • 0C 4 1 er., , JI
兀],贝!j cos 0 = =T=5，所以。
|0A||0C g
JI
答案v
解析 设:AE= uAC,