圆切线证明方法计划.docx

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圆切线证明方法计划
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圆切线证明方法计划
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切线证明法
切线的性质定理 : 圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论１ : 经过圆心且垂直于切线， 那么半径垂直
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切线．
【例 4 】 如图 1 ，B、C 是⊙ O 上的点，线段 AB 经过圆心 O ，连结 AC 、
BC，过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ，∠ACD =2 ∠B．AC 是⊙ O 的切线吗？为何？
解： AC 是⊙ O 的切线．
原因：连结 OC ，
∵OC= OB，
∴∠OCB= ∠B．
∵∠COD 是△BOC 的外角，
∴∠COD = ∠OCB+ ∠B=2 ∠B．
∵∠ACD =2 ∠B，
∴∠ACD = ∠COD ．
∵CD⊥AB 于 D，
∴∠DCO + ∠COD=90 °．
∴∠DCO + ∠ACD=90 °．
即 OC⊥AC．
∵C 为 ⊙O 上的点，
∴AC 是⊙ O 的切线．
【例 5 】 如图 2，已知⊙Ｏ是△ ABC 的外接圆， AB 是⊙Ｏ的直径， D 是 AB
的延伸线上的一点， AE⊥DC 交 DC 的延伸线于点 E，且 AC 均分∠EAB．求证：
DE 是⊙ O 的切线．
证明：连结 OC ，则 OA = OC，
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∴∠CAO = ∠ACO ，
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∵AC 均分∠EAB，
∴∠EAC= ∠CAO = ∠AC Ｏ，
∴AE∥CO，
又 AE⊥ DE，
∴CO ⊥DE，
∴DE 是⊙ O 的切线．
二、直线与圆的公共点未知时须经过圆心作已知直线的垂直线段， 证明此垂
线段的长等于半径
【例 6 】 如图 3 ，AB=AC ， OB=OC ，⊙ O 与 AB 边相切于点 D ．
证明 :连结 OD ，作 OE⊥AC，垂足为 E．
∵AB=AC, OB= OC ．
∴AO 为∠BAC 角均分线，∠ DAO= ∠EAO
∵⊙O 与 AB 相切于点 D ，
∴∠BDO = ∠CEO=90 °．∵AO=AO
∴△ADO ≌△AEO ，因此 OE= OD ．
∵OD 是⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径．
∴⊙O 与 AC 边相切．
【例 7 】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D ，交 AC
于 E，B 为切点的切线交 OD 延伸线于 F.
求证： EF与⊙ O 相切 .
证明：连结 OE， AD.
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∵AB 是⊙ O 的直径，
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∴AD ⊥ BC.
又∵AB=BC ，
∴∠3= ∠4.
⌒ ⌒
∴BD=DE ，∠1= ∠2.
又∵OB=OE ， OF=OF ，
∴△BOF ≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF= ∠OEF.
∵BF 与⊙ O 相切，
∴OB ⊥ BF.
∴∠OEF=90 0 .
∴EF与⊙O 相切.
说明：本题是经过证明三角形全等证明垂直的
【例 8 】如图， AD 是∠BAC 的均分线， P 为 BC 延伸线上一点，且 PA=PD.
求证：PA与⊙O 相切.
证明一： 作直径 AE，连结 EC.
∵AD 是∠BAC 的均分线， ∴∠DAB= ∠DAC.
∵PA=PD ， ∴∠2= ∠1+ ∠DAC.
∵∠2= ∠B+ ∠DAB ， ∴∠1= ∠B.
又∵∠B= ∠E， ∴∠1= ∠E
∵AE 是⊙ O 的直径，
∴AC⊥EC，∠E+ ∠EAC=90 0.
圆