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小学奥数数论专题
名校真题 测试卷10 （数论篇一）
1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 ）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？
[思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手
【解】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。
【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6
那么第3位一定是5，第5位为1
该数最大为875413。
[拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？

【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？
【来源】：06年理工附入学测试题
【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。
2 质数与合数（分解质因数）

【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,
请问□里最小是几?
【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。
2005=5×401 684=2×2×171
375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0
应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此□里最小是4。
[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____
【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？
【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A，04年的为B，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B- A=101
此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，
所以B- A=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×51=2601。
[拓展]：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）
约数和倍数
【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,847）=77
所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。
辗转相除示例：
2002÷847=2…308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数
847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数