函数单调性地判断或证明方法.docx

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函数单调性的判断或证明方法.
〔 1〕定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，
且； ②作差 ，求；③变形〔合并同类项、通分、分解因式、
配方等〕向有利于判断差值符号的方向变形； ④定号，判断的----
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函数单调性的判断或证明方法.
〔 1〕定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，
且； ②作差 ，求；③变形〔合并同类项、通分、分解因式、
配方等〕向有利于判断差值符号的方向变形； ④定号，判断的正负
符号，当符号不确定时， 应分类讨论； ⑤下结论 ，根据函数单调性的定义下结论。
例 1. 判断函数在( － 1，＋∞ ) 上的单调性，并证明．
解： 设－ 1<x1<x2，
那么 f(x 1) － f(x 2) ＝－
＝
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＝
∵－ 1<x1<x2，
x1－ x2<0， x1＋ 1>0， x2＋ 1>0.
∴当 a>0 时， f(x 1) － f(x 2)<0 ， 即 f(x 1)<f(x ∴函数 y＝ f(x) 在 ( － 1，＋∞ ) 上单调递增．当 a<0 时， f(x 1) －f(x 2)>0 ， 即 f(x 1)>f(x
∴函数 y＝ f(x) 在 ( － 1，＋∞ ) 上单调递减．
2)，
2)，
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例 ；在
上为减函数。 〔增两端，减中间〕
证明：设，那么
因为，所以,
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所以，
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所以
所以
设
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那么
，
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因为
，
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所以
所以
所以
，
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同理，可得
2〕运算性质法 . ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，
增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增函数为减函数． 〔增 +增=增；减 +减 =减；增 -减=增，减 -增=减〕
②假设.
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③当函数
④ 函 数
.
二者有相
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反的单调性。
⑤运用结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
〔 3〕图像法 . 根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例 3. 求函数的单 调区间。
解：
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在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为
减区间为.
4〕复合函数法 . 〔步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数
的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性. ⑤假设集合是内层函数
的一个单调区间，那么便是原复合函数的一个单调区间， 如例 4；假设不是
内层函数的一个单调区间，那么需把划分成内层函数的假设干个单调子
区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例 5.〕
设，，都是单调函数， 那么在
上也是单调函数，其单调性由 “同增异减〞 来确定，即“里外〞函数增减性一样，复合函数
为增函数，“里外〞函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
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