矩阵的等价-合同-相似的联系与区别(共8页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
目 录



推论3 相似矩阵有相同的迹.
2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系
（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系
定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．
证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价
反过来，对于矩阵,等价，但是与并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理 6 对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,(即与等价)，且 (为阶单位矩阵)，则与相似．
证明： 设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知,若记 ,那么,也即,则矩阵也相似．
定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
证明： 设阶方阵合同，由定义2有，存在阶可逆矩阵，使得， 若记
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
,,则有因此由定义1得到阶方阵等价
反过来对于矩阵,等价，但是与并不合同，即等价矩阵未必合同．
定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．
证明：若存在一个正交矩阵,即使得即，则有，即与合同.
同理，若存在一个正交矩阵，即使得即与合同，则有
由此可得
、合同阵必为等价阵，但过来必成立
，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.
（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵与正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，
定理9 如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则与既相似又合同．
证明：设与的特征根均为因为与阶实对称矩阵，则一定存在一个阶正交矩阵 Q使得同理，一定能找到一个正交矩阵使得从而有

将上式两边左乘和右乘,得
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
由于,,
有,所以，是正交矩阵，由定理8知与相似．
定理10 若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同．
证明：不妨设是正交矩阵，则可逆，取,有，则与相似，又知是正交阵，所以与既相似又合同．
定理11 若与相似且又合同，与相似也合同，则有与 既相似又合同．
证明: 因为与,与相似，故存在可逆矩阵,，使,令,则且,故与相似．
又因为与合同，与合同,故存在可逆矩阵,
令
而
故与合同．
3矩阵的等价、合同和相似之间的区别
1、矩阵等价：