矩阵的等价-合同-相似的联系与区别.doc

矩阵的等价-合同-相似的联系与区别目录摘要 I引言 11矩阵间的三种关系 22矩阵的等价、合同和相似之间的联系 33矩阵的等价、合同和相似之间的区别 6结束语 6参考文献 6摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系,、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、、,:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言:在高等代数中,讨论了矩阵的三种不同关系,它们分别为矩阵的等价、,性质,相关定理及各自存在的条件,然后给出了这三种矩阵关系间的联系,即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵,相似为正交相似,合同为正交合同时,,:存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵,使由矩阵的等价关系,可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件:(1)矩阵与必为同型矩阵(不要求是方阵).(2)存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,(1)反身性:即.(2)对称性:若,则(3)传递性:即若,,则定理1若为矩阵,且,则一定存在可逆矩阵(阶)和(阶),,,若存在数域上的阶可逆矩阵,使得,则称矩阵为合同矩阵(若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵),由矩阵的合同关系,不难得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件:(1)矩阵与不仅为同型矩阵,而且是方阵.(2)存在数域上的阶矩阵,性质2(1)反身性:任意矩阵都与自身合同.(2)对称性:如果与合同,那么也与合同.(3)传递性:如果与合同,又与合同,,而且由定义可以直接推得:,可以用适当的满秩线性变换化为标准形:,若存在数域上阶可逆矩阵使得,则称矩阵与为相似矩阵(若级可逆矩阵为正交阵,则称与为正交相似矩阵)由矩阵的相似关系,不难得到矩阵与相似,必须同时具备两个条件(1)矩阵与不仅为同型矩阵,而且是方阵(2)在数域上阶可逆矩阵,使得性质3(1)反身性;(2)对称性由即得;(3)传递性和即得总之,合同是一种矩阵之间的等价关系,而且经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4)(其中是任意常数);(5);(6)若与相似,则与相似(为正整数);(7)相似矩阵有相同的秩,而且,如果为满秩矩阵,,那么它们的逆矩阵也相似.(8)相似的矩阵有相同的行列式;因为如果,则有:(9)相似的矩阵或者都可逆,或者都不可逆;并且当它们可逆时,它们的逆矩阵相似;设,若可逆,