2022年函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.docx

函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
〔 一〕 、同一函数的函数的奇偶性与对称性： （奇偶性是一种特别的对称性）
1、奇偶性 : （1） 奇函数关于（ 0, 0）对称,奇函数有关系式
f 〔x〕
f 〔 结： x 的系数一个为 1,一个为 -1 ,f〔x〕 整理成两边,其中一个的系数是为 1, 另一个为 -1 ,存在对称中心；
总结： x 的系数同为为 1,具有周期性；
〔 二〕 、两个函数的图象对称性
1、 y f 〔 x〕 与 y f 〔x〕 关于 X轴对称；
证明： 设
y f 〔 x〕
上任一 点为
〔x1,
y1〕
就 y1
f 〔x1〕
, 所以
y f 〔 x〕
经过点
〔 x1,
y1〕
∵ 〔 x1, y1〕

与〔 x1,

y1〕 关于 X轴对称,∴ y1

f 〔 x1〕 与

y f 〔 x〕 关于 X轴对称.
注：换种说法： y
f 〔 x〕 与
y g〔 x〕
f 〔 x〕
如满意
f 〔 x〕
g 〔x〕
,即它们关于
y 0 对称；
2、 y f 〔 x〕 与

y f 〔

x〕 关于 Y轴对称；
证明：设
y f 〔 x〕 上任一点为
〔x1,
y1〕 就 y1
f 〔x1〕 ,所以
y f 〔
x〕 经过点 〔
x1,
y1〕
∵ 〔 x1, y1〕 与〔
称；
x1, y1〕 关于 Y 轴对称,∴
y f 〔 x〕
与 y f 〔
x〕 关于 Y 轴对
注：由于 〔
x1, y1〕 代入
y f 〔
x〕 得 y1
f 〔 〔
x1 〕〕
f 〔x1〕 所以
y f 〔
x〕 经过点
〔 x1, y1〕
换种说法： y
x 0对称；

f 〔 x〕 与

y g〔 x〕

f 〔 x〕

如满意

f 〔 x〕

g 〔 x〕 ,即它们关于
g 〔 x〕
f 〔 〔
x〕〕
f 〔 x〕
3、 y f 〔 x〕 与 y f 〔2 a x〕 关于直线 x a 对称；
证明：设
y f 〔 x〕
上任一点为
〔 x1,
y1〕 就 y1
f 〔 x1 〕
,所以
y f 〔2 a x〕
经过点
〔2 a x1,
y1〕
∵ 〔 x1, y1〕

与 〔2 a x1, y1〕 关于 x a 轴对称,∴

y f 〔 x〕 与

y f 〔2 a x〕 关
于直线 x a 对称；
注：换种说法： y
f 〔 x〕 与
y g 〔x〕
f 〔2 a x〕
如满意
f 〔 x〕
g〔 2a
x〕 ,即它们
关于 x a 对称；
4、 y
f 〔x〕 与 y 2a
f 〔 x〕 关于直线 y
a 对称；
证明：设
y f 〔 x〕
上任一点为
〔 x1, y1〕 就 y1
f 〔 x1 〕 ,所以 y 2a
f 〔 x〕 经过点
〔 x1, 2a y1〕
∵ 〔x1, y1 〕
与〔 x1, 2a y1 〕 关于 y a 轴对称 ,∴ y
f 〔 x〕 与 y 2a
f 〔 x〕 关于直线
y a 对称.
注：换种说法： y
f 〔x〕 与 y g〔x〕 2a f 〔 x〕 如满意
f 〔 x〕
g〔x〕
2a ,即它们
关于 y a 对称；
5、 y
f 〔x〕与y 2b
f 〔2a
x〕 关于点 〔a,b〕 对称；
证明：设
y f 〔x〕 上任一点为
〔 x1, y1〕 就 y1
f 〔x1〕 ,所以 y
2b f
〔2 a x〕 经过点
〔2 a x1, 2b y1〕
∵ 〔 x1, y1 〕 与〔2 a x1, 2b y1〕 关于点 〔a,b〕 对称,∴ y

f 〔x〕与y 2b

f 〔2a

x〕 关
于点〔a,b〕 对称.
注：换种说法： y

f 〔 x〕 与

y g 〔x〕 2b f

〔2 a x〕 如满意

f 〔 x〕

g 〔2 a x〕

2b ,
即它们关于点 〔a,b〕 对称；
g 〔2a x〕 2b f
〔2 a
〔2