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本科毕业论文(设计)
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常微分方程组初值问题的解法
常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题,它的一般形式是
(1)
在下面的讨论中,总假定函数连续,且满足Lipschitz条件,也就是存在常数,使得
那么,根据常微分方程理论知,初值问题(1)的解存在并且唯一.
所谓数值解法,就是求问题(1)的解在若干点
处的近似值的方法,称为问题(1)的数值解,,我们总取步长为常量.
建立数值解法,首先要将微分方程离散化,一般采用以下几种方法:
如果用向前差商代替代入(1)中的微分方程,则得
化简得
如果用的近似值代入上式右端,所得结果作为的近似值,记为,那么有
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(2)
这样,问题(1)的近似解可通过求解下面的问题
(3)
得到,按式(3)(3)是个离散化的问题,称为差分方程初值问题.
需要说明的是,用不一样的差商近似导数,将得到不一样的计算公式.
用数值积分方法
将问题(1)的解表成积分形式,,对微分方程两端积分,得到
(4)
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算.
Taylor多项式近似
将函数在处展开,取一次Taylor多项式近似,则得
再将的近似值代入上式右端,所得结果作为的近似值,得到离散化的计算公式
上面的三种方法都是将微分方程离散化的常用方法,,不仅可以得到求数值解的公式,而且容易估计截断误差.
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(Euler)方法
Euler方法
Euler 方法就是用差分方程初值问题(3)的解来近似微分方程初值问题(1)的解,即由公式(3)依次算出的近似值。这组公式求问题(1)的数值解称为向前Euler公式.
如果在微分方程离散化时,用向后差商代替导数,也就是,则得计算公式
(5)
用这组公式求问题(1)的数值解称为向后Euler公式.
向后Euler法与Euler法形式上相似,,,因此是隐式公式,一般要用迭代法求解,迭代公式通常为
(6)
Euler方法的误差估计
对于向前Euler公式(3)我们看到,因为时公式右端的都是近似的,所以用它计算的会有累积误差,分析累积误差比较复杂,这里先讨论比较简单的所谓局部截断误差.
假设用(3)式时右端的没有误差,即,那么由此算出
(7)
局部截断误差指的是,按(7),根据Taylor展开得到的精确值是
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打靶法求边值问题(共30页) 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.