打靶法求边值问题(共30页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
本科毕业论文（设计）
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
常微分方程组初值问题的解法
常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，它的一般形式是　　
(1)　
在下面的讨论中，总假定函数连续，且满足Lipschitz条件，也就是存在常数，使得　　
那么，根据常微分方程理论知，初值问题(1)的解存在并且唯一.　　
所谓数值解法，就是求问题（1）的解在若干点
　
处的近似值的方法，称为问题（1）的数值解，，我们总取步长为常量.
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：　　
　　
如果用向前差商代替代入（1）中的微分方程，则得　　
　　
化简得
如果用的近似值代入上式右端，所得结果作为的近似值，记为，那么有　
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
（2）　
这样，问题（1）的近似解可通过求解下面的问题　　
（3）　　　
得到，按式（3）（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题.
需要说明的是，用不一样的差商近似导数，将得到不一样的计算公式.
用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，，对微分方程两端积分，得到　
(4)
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算.　　
Taylor多项式近似　
将函数在处展开，取一次Taylor多项式近似，则得
再将的近似值代入上式右端，所得结果作为的近似值，得到离散化的计算公式　　
　
上面的三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差.　
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
（Euler）方法　　
Euler方法
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解，即由公式（3）依次算出的近似值。这组公式求问题（1）的数值解称为向前Euler公式.　
如果在微分方程离散化时，用向后差商代替导数，也就是，则得计算公式
（5）　
用这组公式求问题（1）的数值解称为向后Euler公式.　
向后Euler法与Euler法形式上相似，，，因此是隐式公式，一般要用迭代法求解，迭代公式通常为　
（6）　
Euler方法的误差估计　　
对于向前Euler公式（3）我们看到，因为时公式右端的都是近似的，所以用它计算的会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的所谓局部截断误差.　
假设用（3）式时右端的没有误差，即，那么由此算出　　
（7）　　　
局部截断误差指的是，按（7），根据Taylor展开得到的精确值是　
精选优质文档-----倾情为你奉上
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
专心---专注---专业
精选优质文档-----倾情为你奉上
专心---专注---专业
（8