圆切线证明地方法.docx

切线证明法
切线的性质定理：圆的切线垂直丁经过切点的半径切线的性质定理的推论1:经过圆心且垂直丁切线的直线必经过切点.
切线的性质定理的推论2:经过切点且垂直丁切线的直线必经过圆心rrr—L‘l——-Lr-」l-，——lr—r—L‘l—径.
OO与AC边相切.
【例7】如图，在AABC中，AB=AC，以AB为直径的OO交BC丁D,交AC丁E,B为切点的切线交OD延长线丁F.
求证：EF与③。相切.
证明：连结OE,AD.
•.AB是CDO的直径，
.•AD±BC.
=BC,公=Z4.
.BD=DE,Z1=Z2.
=OE,OF=OF,zBOF^EOF(SAS).
•••zOBF=ZOEF.
.BF与CDO相切,..OB±BF.
zOEF=900.
.EF与CD。相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
【例8】如图，AD是ZBAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与③。相切.
证明一：作直径AE,连结EC.
.AD是ZBAC的平分线，zDAB==PD,
.•z2=ZB+ZDAB,
乂zB=ZE,
..AE是CDO的直径,
•••z2=Z1+ZDAC.
../=ZB.
.../=/E
•AC±EC,ZE+ZEAC=900
A+ZEAC=±PA.
•••PA与③。相切.
证明二：延长AD交CDO丁E,连结OA,•滁D必ZBAC的平■分线，..BE=CE,•••OE±BC.
•••zE+ZBDE=900.
.OA=OE,zE=/1.
OE.
.PA=PD,zPAD=ZPDA.
乂.•ZPDA=ZBDE,
/+ZPAD=900
即OA±PA.
.PA与CDO相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用【例9】如图，AB=AC,AB是CDO的直径,OO交BC丁D,DM±AC丁M求证：DM与CD。相切.
证明一：连结OD.
.AB=AC,zB=ZC.
.OB=OD,
.QD//AC.
.DM±AC,•DM±QD.
.•DM与CDO相切证明二：连结OD,AD.
•.AB是CDO的直径，•AD±BC.
=AC,/=Z2.
.DM±AC,z2+Z4==OD,z3+Z4=900.
即OD±DM.
•••DM是CDO的切线说明：证明一是通过证平■行来证明垂直的
.证明二是通过证两角互余证明垂直
的，解题中注意充分利用已知及图上已知
【例10】如图，已知：AB是CDO的直径，点C在O。上，且ZCAB=30°,BD=OB,D在AB的延长线上.
求证：DC是OO的切线
证明：连结OC、BC.
.OA=OC,•••zA=Z1=Z30。.
•••zBOC=ZA+Z1==OB,zOBC是等边三角形.
..OB=BC.
.OB=BD,.QB=BC=BD.
.QC±CD.
•••DC是CDO的切线.
说明：此题解法颇多，但这种方法较好.
【例12】如图，AB是OO的直径，CDLAB,且OA2=ODOP.
求证：PC是OO的切线.
证明：=ODop,oa=oc,•••OC2=ODop,OCOP.
ODOC乂，=/1,zQCPszQDC.
zOCP=ZODC.
.CD±AB,zOCP=900•.•PC是OO的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
【例13】如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD丁E,交CD丁F.
求证：CE与8FG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但^CFG是直角三角形，圆心在O,连结OC,证明CE±OC即可得解.
斜边FG的中点，为此我们取FG的中点
证明：取FG中点O,连结OC.
•.ABCD是正方形，•BC±CD,MFG是RtA..O是FG的中点，..O是RtZ2CFG的外心.
.OC=OG,公=ZG,.AD//BC,zG=Z4.
.AD=CD,DE=DE,ZADE=ZCDE=450,..zADEqCDE(SAS).•.伞Z1,Z1=Z3.
..z2+Z3=900../+Z2=900即CE±OC.
•••CE与MFG的外接圆相切
二、若直线l与CDO没有已知的公共点，乂要证明l是CDO的切线，只需作OA±l,A为垂足，证明OA是CDO的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
【例14】如图，AB=AC,D为BC中点，OD与AB切丁E点.
求证：AC与CDD相切.
证明一：连结DE,作DF±AC,F是垂足.
•.AB是CDD的切线，•••DE±AB.
••DF±AC,zDEB=ZDF