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第10章线性系统的多项式矩阵描述
多项式矩阵描述
前已讲过,多项式矩阵描述(PMD)
P(s)(s)=Q(s)u(s)
y(s)=R(s) (s)+W(s)u(s)
它是系统的内部描述,是最一般的描述。
不可简约PMD
{P(s),Q(s)}左互质,且{P(s),R(s)}右互质
不可简约PMD不唯一
{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约
U(s),V(s)为单模矩阵
05级研究生《线性系统理论》教案
由可简约PMD求不可简约PMD
(1){P(s),Q(s)}非左互质,{P(s),R(s)}右互质
此时,P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s), 非奇
则
04级研究生《线性系统理论》教案
(2) P(s),Q(s)左互质,P(s),R(s)非右互质
P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇
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(3)前两种情况的组合
P(s),Q(s)非左互质,消去其gcld H(s), 得
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PMD的状态空间实现
一. 定义
给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)},若能找到状态空间描述
{A,B,C,E(p)},使
实现不唯一,有维数最小的一类实现,称为最小实现。最小实现能控且能观,不同的最小实现间代数等价。
二. 算法:以构造观测器形实现为最简便
已知:{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
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思路:
前面已讲过的MFD实现方法,要求分母矩阵行(列)既约,严格真;
在P(s)(s)=Q(s)u(s)中,先求的实现。
步骤:
先把化成满足左MFD求实现的条件,即P(s)化为行既约, 严格真;
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对求观测器形实现(利用上节方法),得必有
总之
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实现为
三. 最小实现
当且仅当PMD为不可简约时,其维数为n=deg detP(s)的任何实现均为最小实现。
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PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性
互质性与能控性、能观性的等价性
1. 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)},其维数为n=deg detP(s)=dim A的一个实现为{A,B,C,E(p)},则
{P(s),Q(s)}左互质{A,B}能控
{P(s),R(s)}右互质{A,C}能观
2. 对右MFD,
能控类实现:{A,B,C,E},dim A=deg detD(s)
则:{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观(已经能控)
对左MFD,
能观类实现:
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3. 对{A,B,C,E(p)},
{A,B}能控{sI-A,B}左互质
{A,C}能观{sI-A,C}右互质
此即为PBH秩判据的结论。
4. SISO系统{A,b,c},
则
{系统完全能控且能观} g(s)无零极点相消
{系统完全能控} adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象
{系统完全能观} c adj(sI-A)和(s)无零极对消现象
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