四点共圆(一).doc

第二十四讲四点共圆(一) 【知识要点】四点共圆的判定方法: 1、若四个点到一定点的距离相等,则这四个点在同一个圆上(即这四点共圆)。 2 、若一个四边形的一组对角的和等于 180 度,则这个四边形的四个顶点共圆。 3 、若一个四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆。 4 、若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5 、若 AB 、 CD 两线段相交于 P 点,且 PD PC PB PA???,则 A 、B 、C 、D 四点共圆。 6 、若 AB 、 CD 两线段延长后相交于 P 点,且 PD PC PB PA???,则 A 、B 、C 、D 四点共圆。 7 、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例1、锐角 ABC ?的三条高 AD 、 BE 、 CF 交于 H ,在 A 、B 、C 、D 、E 、F 、H ( ) A、4 组B、5 组C、6 组D、7 组例2、如图, A 、B 、C 、D 四点在同一圆上, AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 ED EC ?。(1 )证明: AB CD // ; (2 )延长 CD 到F ,延长 DC 到G ,使得 EG EF ?,证明: A 、B 、G 、F 四点共圆. 例3、如图, 在梯形 ABCD 中, BC AD // ,点E ,F 分别在边 AB , CD 上,设 ED 与 AF 相交于点 G ,若B , C ,F ,E 四点共圆,求证: GE DG GF AG ???. 例4、已知点)02(, A ,)53(, B ,直线 l 过点 B 与y 轴交于点)0(c, C ,若 O 、A 、B 、C 四点共圆,则 c 的值为( ) A、5 22 B、5 28 C、17 D 、无法求出例5、在圆内接等腰三角形 ABC 的底边 BC 上任取二点 D 、E ,延长 AD 、 AE 分别交圆于 F 、G , 求证: AG AE AF AD ???.例6、如图, D ,E 分别是 AB , AC 边上的点,且不与顶点重合,已知 m AE ?,n AC ?, AD , AB 为方程014 2??? mn xx 的两根.(1 )证明: C ,B ,D ,E 四点共圆; (2 )若???90 A ,4?m ,6?n ,求 C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径. 例7、如图, AB 为圆 O 的直径, CD 为垂直于 AB 的一条弦,垂足为 E ,弦 BM 与 CD 交于点 F . (1 )证明: A 、E 、F 、M 四点共圆;(2 )证明: 22 AB BM BF AC ???. 例8、如图,在平行四边形 ABCD 中, BAD ?为钝角,且 BC AE ?, CD AF ?. (1 )求证: A 、E 、C 、F 四点共圆; (2 )设线段 BD 与( 1 )中的圆交于 M 、N .求证: ND BM ?. 例9、如图所示, I 为 ABC ?的内心,求证: BIC ?的外心 O 与A 、B 、C 四点共圆. 例 10、A 、B 、C 三点共线,O 点在直线外,1O ,2O ,3O 分别为 OAB ?, OBC ?, OCA ?的外心. 求证: O ,1O ,2O ,3O 11、如图,在 ABC ?中, AD , BE 分别是 A?,B?的角平分线,O 是 AD 与 BE 的交点,若C ,D ,O , E 四点共圆, 3? DE ,则 ODE ?的内切圆半径为多少? 例 12、如图,点F 是 ABC ?外接圆弧 BC 的中点,点D 、E 在边 AC 上, 使得 AB AD ?, EC BE ?。证明: B 、E 、D 、F 13、如图, AC AH ?, BC EB ?, AK AE ?, BM BH ?. (1 )求证: E 、H 、M 、K 四点共圆; (2 )若 EH KE ?,3? CE 求线段 KM 的长. 例 14、在 ABC ?的边 AB , BC , CA 上分别取 D ,E ,F . 使得 BE DE ?, CE FE ?, 又点 O 是 ADF ?的外心. (1 )证明: D ,E ,F ,O 四点共圆; (2 )证明: O 在 DEF ?的平分线上. 例 15、如图, CD 为 ABC ?外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D ,E 、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 AF DC AE BC ???,B 、E 、F 、C 四点共圆. (1 )证明: CA 是 ABC ?外接圆的直径; (2 )若 EA BE DB ??,求过 B 、E 、F 、C 的圆的面积与