四点共圆(一).doc

【知识要点】四点共圆的判定方法:1、若四个点到一定点的距离相等,则这四个点在同一个圆上(即这四点共圆)。2、若一个四边形的一组对角的和等于180度,则这个四边形的四个顶点共圆。3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、若、两线段相交于点,且,则、、、四点共圆。6、若、两线段延长后相交于点,且,则、、、四点共圆。7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例1、锐角的三条高、、交于,在、、、、、、( )A、组B、组C、组D、组例2、如图,、、、四点在同一圆上,的延长线与的延长线交于点,且。(1)证明:;(2)延长到,延长到,使得,证明:、、、、如图,在梯形中,,点,分别在边,上,设与相交于点,若,,,四点共圆,求证:.例4、已知点,,直线过点与轴交于点,若、、、四点共圆,则的值为()A、B、C、D、无法求出例5、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、,延长、分别交圆于、,求证:.例6、如图,,分别是,边上的点,且不与顶点重合,已知,,,为方程的两根.(1)证明:,,,四点共圆;(2)若,,,求,,,、如图,为圆的直径,为垂直于的一条弦,垂足为,弦与交于点.(1)证明:、、、四点共圆;(2)证明:.例8、如图,在平行四边形中,为钝角,且,.(1)求证:、、、四点共圆;(2)设线段与(1)中的圆交于、.求证:.例9、如图所示,为的内心,求证:的外心与、、、、、三点共线,点在直线外,,,分别为,,:,,,、如图,在中,,分别是,的角平分线,是与的交点,若,,,四点共圆,,则的内切圆半径为多少?例12、如图,点是外接圆弧的中点,点、在边上,使得,。证明:、、、、如图,,,,.(1)求证:、、、四点共圆;(2)若,、在的边,,上分别取,,.使得,,又点是的外心.(1)证明:,,,四点共圆;(2)证明:、如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,、分别为弦与弦上的点,且,、、、四点共圆.(1)证明:是外接圆的直径;(2)若,求过、、、、如图,锐角的内心为,过点作直线的垂线,垂足为,点为内切圆与边的切点.(1)求证:,,,四点共圆;(2)若,、如图,在正中,点,分别在边、上,且,,,相交于点,求证:(1),,,四点共圆;(2).【强化训练】如图,是⊙的直径,弦,的延长线相交于点,:(1);(2),,,、如图,已知是⊙的切线,为切点,是⊙的割线,与⊙交于,两点,圆心在的内部,点是的中点.(1)证明,,,四点共圆;(2)、如图,已知为半圆的直径,、分别为半圆的切线,切点分别为、,的延长线交于,的延长线交于.,为垂足.(1)求证:、、、四点共圆;(2)求证:.4、如图,已知中的两条角平分线和相交于,,在上,且.(1)证明:,,,四点共圆;(2)证明:、如图,已知是⊙的直径,是⊙的切线,割线、分别交⊙于、,连接、.求证:.6、如图,⊙与⊙相交于、两点,圆心在⊙上,⊙的弦切⊙于点,及其延长线交⊙于,两点,过点作,交的延长线于点.(1)求证:、、、四点共圆;(2)若,,求出由四点、、、、如图所示,已知切圆于,割线交圆于、,于,与的延长线相交于点,连接并延长交圆于点,连接.(1)求证:,,,四点共圆;(2)当,时,、如图,是直角三角形,.以为直径的圆交于点点是边的中点,连交圆于点(1)求证:,,,四点共圆;(2)求证:.9、如图所示,在中,,点为三角形外的一点,以为圆心,为半径的圆与边相切,切点为,圆与边相交于点,直径与边交于点,:.10、如图,在中,是直角,是线段上一点,以为直径的半圆交于,连接交半圆于点,延长交于.(1)求证、、、四点共圆;(2)若,、如图所示,是⊙的直径,为延长线上的一点,是⊙的割线,过点作的垂线,交的延长线于点,交AD的延长线于点,过作⊙的切线,:(1),,,四点共圆;(2).