同济五版线配套相似矩阵及对角化1.doc

1 课题§ 向量的内积、长度及正交性教学内容内积定义及性质,正交向量组及正交矩阵,施密特正交化过程教学目标掌握向量内积的定义, 会利用施密特正交化过程将向量正交化。教学重点利用施密特正交化过程将向量正交化教学难点利用施密特正交化过程将向量正交化双语教学内容、安排施密特 Schimidt 内积 scalar product 正交向量组 orthogonal vectors ’ series 规范正交基 normative orthogonal base 正交矩阵 orthogonal matrix 正交变换 orthogonal transformation 教学手段、措施列举法,举例法教学内容备注§ 向量的内积、长度及正交性一、内积 1 、定义 1: 设有 n 维列向量 1 1 2 2 n n x y x y x , y x y ? ???? ???? ???? ?? ???? ???? ???? ?,令?? 1 1 2 2 n n x, y x y x y x y ? ????, ?? x, y 称为向量 x 与y 的内积。 2 、性质: ?????? i , , ; x y y x ????????? ii , , , ; x y y x x y ? ??? ????????? iii , , , . x y z x z y z ? ???? iv 当 x 0 ?时,?? x, x 0 ?;当 x 0 ?时,?? x, x >0 ;?? v 施瓦茨不等式?? 2 x, y ≤???? x, x y, y 。二、向量 x 的长度内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 用矩阵记号表示,当x 与y 都是列向量时,有?? T x, y x y ?长度又叫范数 2 1、定义 2:令?? 2 2 2 1 2 , , n x x x x x x ? ?????x 称为 n 维向量 x 的长度( 或范数)。注:(1)两n 维向量的距离为 d,则 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n d x y x y x y x y ? ?????????(2 )若两非零 n 维向量 x ,y 间夹角为?,则定义??, os x y x y ??。 2 、性质: (i )非负性: 0 0; 0 0 x x x x ? ???当时,当时; ( ii )齐次性: x x ? ??( iii) 三角不等式: x y x y ? ?? 3 、正交: 定义 3 :当??, 0, x y ?称向量 x与y 正交。注: (1) 两非零向量正交的充要条件是??, 0, x y ?(2) 若不含零向量的向量组中的向量两两正交,则称其