外接球与内切球.doc

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简单几何体的外接球与内切球问题
复习回顾：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
学习重点：
常用性质：
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
自我训练：
直棱柱的外接球
长方体的外接球：
长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即
正方体的外接球：
正方体的棱长为，则正方体的体对角线为，其外接球的直径为。
直棱柱的外接球：
方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。
例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 .
例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
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A. B. C. D.
棱锥的外接球
正棱锥的外接球
方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。
例3、正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .
例4、若正四面体的棱长为4，则正四面体的外接球的表面积为___________。
例5、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ）
　　（A） (B) (C) (D)
补体方法的应用
（1）正四面体（2）三条侧棱两两垂直的三棱锥
（3）四个面均为直角三角形的三棱锥（4）对棱相等的三棱锥
例6、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4和3，那么它的外接球的体积是 。
例7、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(　　)
A. 4π B. 8π C. 1