圆锥曲线的切线方程总结(附证明).docx

运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、一点M（X。，y。）的切线方程为x°xy°y线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为将如何？我们不妨进行几个联想。
2X~2a222,xyr上;当M（X。，y。）在圆
运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、一点M（X。，y。）的切线方程为x°xy°y线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为将如何？我们不妨进行几个联想。
2X~2a222,xyr上;当M（X。，y。）在圆外时，过M点引切2一-.,y°yr。那么，在圆锥曲线中，又第75页例题2，给出了经过圆
2rXqX联想一：（1）过椭圆0）上一点M（X0,y0）切线方程为为x
2a耳1；(2)当M(b2X。，y。）在椭圆
2X-2a1的外部时,过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:
X。-2aVoV2X证明：（1）na1的两边对X求导,2x~~2a2yyV0,得XX。
四，由ay。
点斜式得切线方程为y。
4ay。
X。），即x°x~2~ab2
2X。
-2a
2垃1QIO
b2（2）设过椭圆
2X~2a
2yb21（ab。）外一点M（X。，y。）引两条切线，切点分别为A（*,y〔）、
X2X
V2V
2a
b2
-2-
y2y。
2a
b2
X。-
yoy
2a
b2
评注：因。又因y2）。由（1）可知过A、B两点的切线方程分别为：2a-1-。
M（X。，y。）是两条切线的交点，所以有2a外）X1XViV>i、b2
yyb2
1。观察以上两个等式，发现A（x1,y1）、B（x2,y2）满足直线，所以过两切点A、B两点的直线方程为M（X。，y。）在椭圆2X
2aXcX的不同，同一方程-V
a
联想二：（1）过双曲线
b2
2X
2a
2y_b2x。-VoV—2Tab
2七1（ab0）上的位置（在椭圆上或椭圆b表示直线的几何意义亦不同。
1(a0,b。）上一点M（X。，y。）切线方程为X。-
2a缗1UMb2(x。
,y。）在双曲线
2X~~2a
2与1的外部时，过M引切线有两b2条,过两切点的弦所在直线方程为:
X°X
2aYoYb2。（证明同上）联想三：（1）过圆锥曲线Ax2Cy2Dx
EyF。（A,C不全为零）上的点（X。，y。）的切线方程为Ax°xCy°y_yy。一,E一丛F。；（2）当
2
2_2___M(X。，y。)在圆锥曲线AxCyDxEyF0(A,C不全为零)的外部时，过M
引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为:
Ax0xCy0yD壬。E七产F0
2Ax0D—0—(x2Cy0E
x°)
证明：(1)两边对x求导，得2Ax2CyyDEy02Ax0D,由点斜式得切线方程为yy02Cy°E
化简得2Cy°y2Cy°22EyEy02Ax0xDx2Ax0
Dx00.①因为Ax02Cy02Dx0Ey0F0
由①一②X2可求得切线方程为：AxoxCy0yD土产E匕产F0
(2)同联想一(2)可证。结论亦成立。
根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到