圆锥曲线的切线方程总结附证明.doc

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运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、第 75页例题
x2 y2 r2上一点M （ Xo , yo ）的切线方程为XoX yoy r2 ;当 时，过M点引切线有且只有两条， 过两切点的弦所在直线方程为 么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
2 2
联想一：（1）过椭圆笃爲1 （a b
a b
豊1 ； （2）当M（X。，yo ）在椭圆
b
过两切点的弦所在直线方程为：
2,给出了经过圆
M （Xo , yo ）在圆外
XoX yoy r2。那
o ）上一点M （ X。，yo ）切线方程为
XoX
~2
a
条,
2 X
-2 a
1的外部时，过M
引切线有两
XoX
~2~
a
yoy 1
2
证明：（1）冷
a
2
y_
1的两边对x求导，得
2x
~2 a
2yy
V
x Xo
爭,由
a yo
点斜式得切线方程为
yo
李(X
a yo
Xo），即答
a
yoy
b2
2
Xo
~2
a
2
匹1 b2 1。
别为
x1x
-T
a
X1Xo
2
a
1 （ a b o）外一点M （ xo , yo ）引两条切线，切点分 由（1 ）可知过 A、B两点的切线方程分别为：
2
y_
b2
y2）
2 X -2 a
A(X1 , yj、B(X2 ,
%y 1
b2 1
% yo
b2
XoX
~2_
a
（2）设过椭圆
满足直线
X2X
~2~
a
X?Xo
2
a
yoy 1
歹1
y?y 1
百1
y2y。
b2
。又因M（xo，y°）是两条切线的交点，所以有
1。观察以上两个等式，发现 A（x1 , yj、B（X2, y2）
，所以过两切点A、B两点的直线方程为
XoX y°y
a2 b2 1 。
评注：因M （
Xo ,
外）的不同，同一方程
2 yo )在椭圆务 a
yoy
孑
2
X
2
a
XoX
a
2
每1 （ a b o ）上的位置 b2
表示直线的几何意义亦不同。
（在椭圆上或椭圆
联想二：（1）过双曲线
2
芯 1(a o,b
b2
0 ）上一点M
（xo , yo ）切线方程
晋 1 ；(2)当 M(
为弩
a
有两条，过两切点的弦所在直线方程为:
xo , yo
）在双曲线
2 X ~2 a
yoy
b2
2 y b2
1的外部时，过M弓I切线
XoX
2 a
联想三：（1）过圆锥曲线Ax2 Cy2 Dx Ey F
（证明同上）
（A, C不全为零）上的点
yo
M （ Xo , yo ）的切线方程为 Axox Cyoy D -■-Xo E ——
2 2
在圆锥曲线Ax2 Cy2 Dx Ey F o （A, C不全为零）的外部时，过 M引切线有
F o ； (2)当 M ( Xo , y° )