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圆锥曲线的切线方程总结（附证明）

运用联想探究圆锥曲线的切线方程

现行人教版统编教材中学数学其次册上、第75页例题2，给出了经过圆x2?y2?r2上一点M(x0,y0)的









圆锥曲线的切线方程总结（附证明）

运用联想探究圆锥曲线的切线方程

现行人教版统编教材中学数学其次册上、第75页例题2，给出了经过圆x2?y2?r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2；当M(x0,y0)在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x0x?y0y?r2。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进展几个联想。
联想一：〔1〕过椭圆x0xa2xa22?yb22?1(a?b?0)上一点M(x0,y0)切线方程为
xa22?y0yb2〔2〕当M(x0,y0)在椭圆?1；
x0xa2?yb22过M引切线有两条，?1的外部时，
过两切点的弦所在直线方程为：
xa22?y0yb2?1
2xa2证明：〔1〕?yb22?1的两边对x求导，得?2yy?b2?0，得y?x?x0??bx0ay022，由
点斜式得切线方程为y?y0??xa22bx0ay022(x?x0)，即
x0xa2?y0yb2?x0a22?y0b22?1 。
〔2〕设过椭圆?yb22?1(a?b?0)外一点M(x0,y0)引两条切线，切点分别










xxyy为A(x1,y1)、B(x2,y2)。由〔1〕可知过A、B两点的切线方程分别为：12?12?1、
abx1x0y1y0x2xy2yM(x,y)。又因是两条切线的交点，所以有??1??1、002222ababx2x0y2y0??1。视察以上两个等式，发觉A(x1,y1)、B(x2,y2)满意直线22abx0xy0yx0xy0y，所以过两切点、两点的直线方程为AB??1??1。 2222abab22xy评注：因M(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上的位置〔在椭圆上或椭圆
abxxyy外〕的不同，同一方程02?02?1表示直线的几何意义亦不同。
ab22xy联想二：〔1〕过双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点M(x0,y0)切线方程为
ab22x0xy0yxy?2?1；〔2〕当M(x0,y0)在双曲线2?2?1的外部时，过M引切线有两2ababxxyy条，过两切点的弦所在直线方程为：02?02?1。〔证明同上〕
ab联想三：〔1〕过圆锥曲线Ax?Cy?Dx?Ey?F?0〔A，C不全为零〕上的点
M(x0,y0)的切线方程为Ax0x?Cy0y?Dx?x02?