《一 二维形式的柯西不等式》教案.docx

《一 二维形式的柯西不等式》教案
教学目标
认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向
量形式.
教学重、难点
重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
难点：理解几
《一 二维形式的柯西不等式》教案
教学目标
认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向
量形式.
教学重、难点
重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
难点：理解几何意义.
教学过程
一、复习准备：
：二元均值不等式有哪几种形式？
答案： a + b ³ ab (a > 0,b > 0) 及几种变式.
2
：已知a、b、c、d为实数，求证 (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) ³ (ac + bd )2
证法：(比较法) (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) - (ac + bd )2 =….= (ad - bc)2 ³ 0
二、讲授新课：
：
①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则 (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) ³ (ac + bd )2 .
→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？
②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？
证法二：(综合法) (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) = a2c2 + a2d 2 + b2c2 + b2d 2
= (ac + bd )2 + (ad - bc)2 ³ (ac + bd )2 . (要点：展开→配方)
ur r ur r
证法三：(向量法)设向量 m = (a, b) ， n = (c, d ) ，则 | m |= a2 + b2 ， | n |= c2 + d 2 .
ur r ur r ur r ur r ur r ur r
∵ m · n = ac + bd ，且 m × n =| m || n | cos < m, n > ，则 | m × n |£| m || n | .∴…..
证法四：(函数法)设 f ( x) = (a2 + b2 ) x2 - 2(ac + bd ) x + c2 + d 2 ，则
f ( x) = (ax - c)2 + (bx - d )2 ≥0恒成立.
∴ D = [-2(ac + bd )]2 - 4(a2 + b2 )(c2 + d 2 ) ≤0，即…..
③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式： a2 + b2 g c2 + d 2 ³| ac + bd | 或 a2 + b2 g c2 + d 2 ³| ac | + | bd |
或 a2 + b2 × c2 + d 2 ³ ac + bd .
ur ur ur ur ur ur
④提出定理2：设 a, b 是两个向量，则 | a × b |£| a || b | .
即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 )
ur ur ur
→ 讨论：上面时候等号成立？( b 是零向量，或者a, b 共线)
⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证 a2 + b2 + c2 +