函数的单调性证明.doc

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函数的单调性证明
　
一．解答题（共40小题）
1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．
2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．
1）求f（x）的解析式；
（2）解方程f（x+1）=0．
　
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函数的单调性证明
参考答案与试题解析
　
一．解答题（共40小题）
1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．
【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：
；
∵x1＜x2＜0；
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
　
2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．
【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，
则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（），
又由0＜x1＜x2＜，
则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，
设≤x3＜x4，
同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（），
又由≤x3＜x4，
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则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，
则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．
　
3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数．
【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：
=；
∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2；
∴；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．
　
4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．
【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣（=
因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．
　
5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．
【解答】解：设x1＜x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）
=2x1﹣﹣2x2+
=（x1﹣x2）（2+），
∵x1＜x2＜0，
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∴x1﹣x2＜0，2+＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即：f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．
　
6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．
【解答】解：任取0≤x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=
=（x1+x2）（x1﹣x2）
因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，
故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数．
　
7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数．
【解答】解：∵函数f（x）==1﹣在在区间（﹣1，+∞），
可以设﹣1＜x1＜x2，
可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=
∵﹣1＜x1＜x2＜0，
∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，
∴＜0
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数；
　
8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
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【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣（﹣）=﹣=，
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．
若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．
即f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
　
9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数．
【解答】解：∵函数y=在区间（0，+∞），
可以设0＜x1＜x2，
可得f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数；
　
10．已知函数f（x）=x+．
（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．