D62几何应用.ppt

D62几何应用47225
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2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
的圆柱体的底圆中心 ,
并
与底面交成  角,
解: 如图所示取坐标系,
则圆的方程为
垂直于x 轴 的截面是直角三角形,
其面积为
利用对称性
计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?
提示:
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垂直 x 轴的截面是椭圆
例17. 计算由曲面
所围立体(椭球体)
解:
它的面积为
因此椭球体体积为
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
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的体积.
例18. 求曲线
与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积.
(94 考研)
解: 利用对称性 ,
故旋转体体积为
在第一象限
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四、旋转体的侧面积 (补充)
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
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侧面积元素
的线性主部 .
若光滑曲线由参数方程
给出,
则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的
不是薄片侧面积△S 的
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注意:
侧面积为
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
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例20. 求由星形线
一周所得的旋转体的表面积 S .
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
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内容小结
1. 平面图形的面积
边界方程
参数方程
极坐标方程
2. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
上下限按顺时针方向确定
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
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3. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积
绕 x 轴 :
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
绕 y 轴 :
(柱壳法)
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思考与练习
A 及边界长 s .
提示: 交点为
弧线段部分
直线段部分
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以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分,
故以 y 为积分变量.
2. 试用定积分求圆
绕 x 轴
上
半圆为
下
求体积 :
提示:
方法1 利用对称性
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旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .
方法2 用柱壳法
说明: 上式可变形为
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上
半圆为
下
此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).
求侧面积 :
利用对称性
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上式也可写成
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
作业
P279 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ;
8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
面积及弧长部分：
体积及表面积部分：
P279 13; 14 ; 15 (1), (4); 17; 18
补充题: 设有曲线
过原点作其切线 , 求
由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一
周所得到的旋转体的表面积.
备用题
解：
1. 求曲线
所围图形的面