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x04-4几何应用
例4已知函数y=x2，在区间（0，1）上求一点t,使S=S1Add your text here and write down your opninon thank you add your text here
x04-4几何应用
例4已知函数y=x2，在区间（0，1）上求一点t,使S=S1+S2最小？ y
解：S(t)=∫t0 (t2-x2)dx+∫1t (x2-t2)dx
=4/3 t3-t2+1/3
S’(t)=4t2-2t=0 =>t=1/2
S”(1/2)>0
S1
S2
dA=ydx
dx
如果曲边梯形的曲边为参数方程
解
椭圆的参数方程
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
解
曲边扇形的面积
2）极坐标系情形（P222）
解
由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积
注意到：
解
利用对称性知
例 3 求r = a sin3所围的面积。
解 这是三叶玫瑰线，由 sin3  ≥0，有
由对称性
双纽线
笛卡儿叶形线
二、平面曲线弧长的概念合理假设：
弧微分
弧长
1）直角坐标情形
解
所求弧长为
证
根据椭圆的对称性知
故原结论成立.
曲线弧为
弧长
2）参数方程情形
弧微分
解：
参数方程
曲线弧为
弧长
3）极坐标情形
解
三、平行截面面积已知立体的体积（P223）
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.
立体体积
解
取坐标系如图
截面面积
（x,y)
解
取坐标系如图
底圆方程为
截面面积
立体体积
例3 已知立体为以长轴a=10 ,短轴b=5椭圆为底,
垂直于长轴的载面都是等边三角形,求其体积。
解：建立坐标系：
取长轴为x轴，椭圆中心为原点.
垂直于x轴截面的边长： y
O x
立体体积
圆柱
圆锥
圆台
四 、        旋转体的体积
定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一
条直线（轴）旋转一周而形成的立体图形。
x
y
o
旋转体的体积为
1）：小圆柱体法：
体积元素小圆柱体：
dx
dy
解
直线 方程为
解
例3
参看教材224页
解
（2）小柱壳法
a
b
x
y
o
体积元素（柱壳）
体积为
体积元素为小柱壳：dV=2πx |f(x)| dx
(周长×高×厚)
X x+dx
dy
例1
柱壳法
利用这个公式，可知上例中
解
体积元素为：
dx
例4曲线
和x轴围成一平面图形，求此平面图形
绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。
解 在[1，2]上取积分元素，得
例5求由曲线y=x2-2x, y=0, x=1, x=3所围平面图形分别绕x
和y轴旋转一周, 所得的旋转体体积.
x
y
o
旋转曲面的面积为
五、(P225)旋转曲面的面积
曲线弧为
弧微分ds
例：求半径为R球的表面积
解：x=Rcost y =Rsint
例1
解
由对称性,
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