线性代数刘汝臣东北大学出版社.docx

Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
线性代数刘汝臣东北大学出版社
高职高专数学系列教材(机电类)
线 性 代 数
刘汝臣 ? ? ? 67
第一节 齐次线性方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 67
第二节 非齐次线性方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 78
· 2 · 线性代数
第五章 相似矩阵及二次型 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 96
第一节 特征值与特征向量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 96
第二节 正交矩阵? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 103
第三节 相似矩阵与矩阵的对角化? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 110
第四节 二次型及其标准形? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 117
第五节 正定二次型? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 127
· 1 ·
第一章 行列式
行列式是线性代数中的一个基本工具 . 本章 在介 绍二、三阶 行
列式的基础上 , 给出 n 阶行列式的定义并讨论其性质与计算 . 作为
行列式的初步应用 , 还将解决一类 n 元方程组的求解问题 .
第一节 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
设有二元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
, ( 1)
用加减消元法解此方程组得
( a11 a22 - a12 a21 ) x1 = b1 a22 - a12 b2 ,
( a11 a22 - a12 a21 ) x2 = a11 b2 - b1 a21 .
当 a11 a22 - a12 a21 ≠0 时 , 得
x1 =
b1 a22 - a12 b2
a11 a22 - a12 a21
, x2 =
a11 b2 - b1 a21
a11 a22 - a12 a21
. ( 2)
这就是二元线性 方程 组 ( 1) 的求解公式 . 为了便于记忆 , 我们引入
二阶行列式的概念 .
定义 1 由四个数 a11 , a12 , a21 , a22 写成下面的式子
a11 a12
a21 a22
, ( 3)
称为二阶行列式 , 它表示 a11 a22 与 a12 a21 的差 , 即
· 2 · 线性代数
a11 a12
a21 a22
= a11 a22 - a12 a21 .
等式右边的式子称为二阶行列式的展开式 .
在二阶行列式中 , 横排称为行 , 竖排称为列 , 数 aij ( i = 1, 2;
j = 1 , 2 )称为行列式( 3) 的元素 . 元素 aij 的第一个下角标 i 称为行
标 , 表明该元素位于第 i 行; 第二个下角标 j 称为列标 , 表明该元
素位于第 j 列 .
二阶行列式的展开式可用对角线法则来记忆 , 如图 1 -1 所示 .
把 a11 , a22 所在直线称为主对角线 , a12 , a21 所在直线称为副对角
线 , 于是二阶行列式的展开式就是主对角线的两个元素之积与副对
角线两个元素之积的差 . 即
图 1 -1
方程组(1 )左边未知元的系数按原来相对位置构成的行列式就
是式(3 ) , 称为方程组(1 )的系数行列式 .
按照定义 1, 有
b1 a12
b2 a22
= b1 a22 - a12 b2 ,
a11 b1
a21 b2
= a11 b2 - b1 a21 ,
这两个行列式是由行列式(3 )分别将第一、二列换成方 程组( 1 )的常
数列而得到 . 于是公式( 2) 便可以记为
b1 a12 a11 b1
x1 =
b2 a22
a11 a12
=
D
1
D , x
2 =
a21 b2
a11 a12
=
D
2
D .
a21 a22 a21 a22
第一章 行列式 · 3 ·
例 1 解方程组
4 x1 + 3 x2 = 8
7 x1 + 2 x2 = 5
.
解 因为
D =
4 3
7 2
= 8 - 21 = - 13≠0,
D1 =
8 3
5 2
= 16 - 15 = 1,
D2 =
4 8
7 5
= 20 -