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拓扑学奇趣拓扑学奇趣一、什么是拓扑学拓扑学(Topology) 是在 19 世纪末兴起并在 20 世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支,其中拓扑变换在许多领域均有其用途。直至今日,从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱。拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察。直观的说,关于图形的几何性质探讨, 不限于它们的“度量”性质(长度、角度等等)方面的知识。拓扑学探讨各种几何形体的性质,但是其内容却与几何学的范畴不尽相同,多数的讨论都是围绕在那些与大小、位置、形状无关的性质上。例如,曲线(绳子、电线、分子链…)不论有多长,它可以是闭合或不是闭合的。如果曲线是闭合的, 则它可以是“缠绕”得很复杂的。两条以上的闭曲线可以互相套起来,而且有很多型式。立体及它们的表面可以是有“孔洞”的,在不割裂、破坏孔洞下,它们允许做任意的伸缩及变形。这种变形不会减少或增加孔动数量,就叫做它的“拓扑性质”。一个橡皮圈,在它的弹性限度内,任凭我们把它拉长、扭转,只要不把它弄断,那么它永远是一个圈圈。拉长使它的长度改变了,扭转使它的形状改变了,然而在拓扑学上不会理会这些,只是专注在“它永远有一个圈圈”上。 。一个几何图形的性质,经由一拓扑变换作用后维持不变,该性质称为图形的拓扑性质。下面两组图形从拓扑变换角度来看,它们分别是“等价”的。任何三角形、方形、圆形及椭圆的内禀特质,从拓扑学的立场看来,它们都没有任何区别。然而, 在初等几何学中,这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。如果我们把一个橡皮制的物体 X 任意的扭转、拉长,但不可把它撕开或断,而得到另一形状的物体 Y,我们称这两个物体 X和Y在拓扑上是一种“同胚”或“等价”的结构。广义的来说, 在一个物体到另一个物体的对应关系,如果它是不间断,又不重复,则在拓扑上称这个关系在两物体间建立一个“同胚”变换。两个物体间如果存在有这种关系,则称它们为“拓扑同胚”。例如,任意一个三角形在任意延伸、伸缩的变形变换中,可以迭合住一个圆形。所以这个延伸、伸缩变换是一种同胚变换,因而三角形和圆形在拓扑上被视为是同胚或等价的。拓扑学就是探讨同胚的拓扑空间所共有的性质之一门学科。网络、欧拉定理、曲面、向量场、四色问题、结、覆盖等,都是拓扑学研究的重要课题。 (Poincar é, 1854 ~ 1912) 以他丰富的想象力及抽象的思维能力,提出图1中的两个物体是等价(同胚)的,也就是说,您可以从其中一个开始,经由拓扑变换得出另一个, 您认为可能吗? 庞加莱的变换魔术:请注意图 2的变换!在拓扑上,只要不破坏原有结构,任意伸缩变形是被允许的,因为总能找到一个同胚的对应来描述这个动作。庞加莱的奇怪想法:在车轮内胎上有一个小洞,能否在不撕坏车胎的前提下,通过小洞将车内胎翻面过来( 里面翻到外面)?如果可以,该如何操作? 二、莫比乌斯(M ? bius) 带在 1862 ~ 1865 年,德国数学家莫比乌斯(M ? bius) 和利斯廷的著作中出现了一种有边缘的曲面。它可以这样得到:把长方形纸条扭转一次,然后把两端接起来。这样得到的曲面叫做 M? bius 带, 见图 3。关于 M? bius 带是怎样发现的﹐有这样一个故事:有一次